الكثافة في صورتها الطوبولوجية কী?

مثال 12.17 (الكثافة نسبية)

تعني «كثيفة» بالمعنى المعرَّف هنا كثيفةً في $\R$؛ وقد تكون مجموعة بدل ذلك كثيفة في جزء من المستقيم فقط. فالأعداد الثنائية في $\intcc{0}{1}$، أي $D \cap \intcc{0}{1}$ (التمرين 10.8)، تقاطع كل فترة مفتوحة محتواة في $\intcc{0}{1}$ لكنها بالطبع تفوّت $\intoo{2}{3}$ كليًا: فهي كثيفة في $\intcc{0}{1}$، بمعنى $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. والعبارة العامة «$A$ كثيفة في $B$» اختصارٌ للمقدار $B \subseteq \overline A$ — وسمِّ دائمًا المجموعة المحيطة، لأن طرفَي مسألة نهاية الأسبوع كثيفان في مجموعة كانتور بينما ليسا كثيفين في أيّ موضع في $\R$: فهي المجموعة نفسها، ووصفان صادقان يبدوان متعاكسين.

مثال 12.18 (التعامل مع الكثافة)

ثلاث حركات سريعة تتكرر باستمرار. التكبير: إذا كانت $A$ كثيفة و $A \subseteq B$، فإن $B$ كثيفة (لأن كل فترة تقاطع $A$ أصلًا). النقل: إذا كانت $A$ كثيفة، فكذلك $\lambda A + \mu$ من أجل $\lambda \neq 0$ — فالفترة $I$ تقاطع $\lambda A + \mu$ إذا وفقط إذا قاطعت الفترة $\frac{I - \mu}{\lambda}$ المجموعةَ $A$؛ ومنه فمضاعفات $10^{-9}$ الفردية، مثلًا، كثيفة. والتقاطع يفشل: فقد تفوّت مجموعتان كثيفتان إحداهما الأخرى كليًا ($\Q$ و $\R \setminus \Q$): فالكثافة تصمد أمام الاتحادات والتطبيقات الأفينية، لا أمام التقاطعات أبدًا.

مثال 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$؛ $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$؛ $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. ومن أجل $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$ و $\mathring A = \emptyset$ و $\partial A = A \cup \{0\}$. ومن أجل $\Q$: بالكثافة (المبرهنة 10.14) يكون كل عدد حقيقي ملاصقًا للمجموعة $\Q$، ومنه $\overline{\Q} = \R$ بينما $\mathring{\Q} = \emptyset$ (لأن كل فترة تحتوي أعدادًا صماء): ومنه فحافة $\Q$ هي $\R$ كلها.