ما معنى مشتقة؟

مثال 14.2

عكس «قابلة للاشتقاق $\Rightarrow$ متصلة» يفشل: فالمقدار $\abs{\,\cdot\,}$ عند $0$. والأدهش أن القابلية للاشتقاق لا تستلزم الصنف $C^1$: فالدالة $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) قابلة للاشتقاق في كل مكان، مع $f'(0) = 0$، لكن $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ لا نهاية له عند $0$ (التمرين 14.2).

مثال 14.3 (قابلة للاشتقاق عند نقطة واحدة بالضبط)

لتكن $f(x) = x^2$ من أجل $x \in \Q$ و $f(x) = 0$ من أجل $x \notin \Q$. عند $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$، ومنه فالدالة $f$ قابلة للاشتقاق عند $0$ مع $f'(0) = 0$. وعند أيّ $x_0 \neq 0$، لا تكون $f$ متصلة أصلًا: إذ ترسل المتتاليات الناطقة والصمّاء المتقاربة إلى $x_0$ الدالةَ $f$ إلى $x_0^2 \neq 0$ وإلى $0$ على الترتيب (بالكثافة، المبرهنة 10.14). ومنه فالقابلية للاشتقاق مفهوم نقطي حقًا: إذ يمكن أن تصحّ عند نقطة واحدة من $\R$ ولا تصحّ في أيّ موضع آخر. والعبرة العملية: تقتضي عبارات مثل محك الرتابة أو مبرهنة رول المشتقةَ على فترة — فامتلاك $f'(x_0)$ عند نقاط معزولة، مهما كثرت، لا يدعم أيّ نتيجة شاملة أصلًا.

مثال 14.6 (مشتقات المعكوسات، مرتين)

تعيد المبرهنة حساب المشتقات الكلاسيكية دون أيّ عمل على النهايات. فمن أجل $\ln = \exp^{-1}$: عند $y = \eu^x$،

وهذا صحيح من أجل كل $y > 0$ لأن $\exp' = \exp$ لا ينعدم أبدًا. ومن أجل $\arctan = \tan^{-1}$: عند $y = \tan x$،

باستعمال $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. والفكرة النافذة: تحوّل الصيغة معرفةً عن دالة إلى معرفة عن معكوسها بثمن تعويض واحد — والتعويض ($x = \ln y$ و $x = \arctan y$) هو بالضبط عبارة أن المتغيرين يعيشان على جانبَي التقابل.