अवकलज क्या है?

उदाहरण 14.2

“अवकलनीय $\Rightarrow$ संतत” का विलोम विफल है: $0$ पर $\abs{\,\cdot\,}$। और अधिक आश्चर्यजनक बात यह कि अवकलनीय होने से $C^1$ होना नहीं आता: फलन $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) सर्वत्र अवकलनीय है, जहाँ $f'(0) = 0$, पर $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं (अभ्यास 14.2)।

उदाहरण 14.3 (ठीक एक ही बिंदु पर अवकलनीय)

मान लीजिए $x \in \Q$ के लिए $f(x) = x^2$ और $x \notin \Q$ के लिए $f(x) = 0$। $0$ पर: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, अतः $f$ $0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$। किसी भी $x_0 \neq 0$ पर $f$ संतत तक नहीं है: $x_0$ की ओर अभिसरित होते परिमेय और अपरिमेय अनुक्रम $f$ को क्रमशः $x_0^2 \neq 0$ और $0$ पर भेजते हैं (सघनता, प्रमेय 10.14)। अतः अवकलनीयता सचमुच बिंदुवार धारणा है: वह $\R$ के एक बिंदु पर सत्य हो सकती है और अन्यत्र कहीं नहीं। व्यवहार के लिए उपदेश: एकदिष्टता कसौटी या रोल जैसे कथनों को अवकलज किसी अंतराल पर चाहिए — वियुक्त बिंदुओं पर, चाहे कितने ही हों, $f'(x_0)$ का होना किसी भी समग्र निष्कर्ष का आधार नहीं बनता।

उदाहरण 14.6 (प्रतिलोम अवकलज, दो बार)

यह प्रमेय चिरपरिचित अवकलजों को बिना किसी सीमा-कार्य के फिर से संगणित कर देती है। $\ln = \exp^{-1}$ के लिए: $y = \eu^x$ पर,

जो प्रत्येक $y > 0$ के लिए वैध है, क्योंकि $\exp' = \exp$ कभी लुप्त नहीं होता। $\arctan = \tan^{-1}$ के लिए: $y = \tan x$ पर,

जहाँ $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ प्रयुक्त हुआ। समापन का सार: यह सूत्र किसी फलन के विषय में ज्ञान को उसके प्रतिलोम के विषय में ज्ञान में बदल देता है, और उसकी क़ीमत एक प्रतिस्थापन है — और वह प्रतिस्थापन ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) ठीक यही कथन है कि दोनों चर एकैकी आच्छादन के आमने-सामने के पक्षों पर रहते हैं।