Wat is afgeleide?

Voorbeeld 14.2

De omkering van “afleidbaar $\Rightarrow$ continu” faalt: $\abs{\,\cdot\,}$ in $0$. Verrassender nog: afleidbaar impliceert niet $C^1$. De functie $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) is overal afleidbaar, met $f'(0) = 0$, maar $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ heeft geen limiet in $0$ (Oefening 14.2).

Voorbeeld 14.3 (Afleidbaar in precies één punt)

Zij $f(x) = x^2$ voor $x \in \Q$ en $f(x) = 0$ voor $x \notin \Q$. In $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, dus is $f$ afleidbaar in $0$ met $f'(0) = 0$. In elk $x_0 \neq 0$ is $f$ niet eens continu: rationale en irrationale rijen die naar $x_0$ convergeren sturen $f$ respectievelijk naar $x_0^2 \neq 0$ en naar $0$ (dichtheid, Stelling 10.14). Afleidbaarheid is dus een werkelijk puntsgewijs begrip: het kan in één punt van $\R$ gelden en nergens anders. De moraal voor de praktijk: uitspraken als het monotoniecriterium of Rolle vereisen de afgeleide op een interval — het bezit van $f'(x_0)$ in geïsoleerde punten, hoeveel het er ook zijn, ondersteunt geen enkele globale conclusie.

Voorbeeld 14.6 (Afgeleiden van inversen, tweemaal)

De stelling herberekent de klassieke afgeleiden zonder enig limietwerk. Voor $\ln = \exp^{-1}$: in $y = \eu^x$ is

geldig voor elke $y > 0$, want $\exp' = \exp$ wordt nooit nul. Voor $\arctan = \tan^{-1}$: in $y = \tan x$ is

met gebruik van $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. Het afsluitende inzicht: de formule zet kennis over een functie om in kennis over haar inverse tegen de prijs van één substitutie — en die substitutie ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) is precies de uitspraak dat de twee variabelen aan weerszijden van de bijectie leven.