O que é derivada?

Exemplo 14.2

A recíproca de “derivável $\Rightarrow$ contínua” falha: $\abs{\,\cdot\,}$ em $0$. Mais surpreendentemente, derivável não implica $C^1$: a função $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) é derivável em toda parte, com $f'(0) = 0$, mas $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ não tem limite em $0$ (Exercício 14.2).

Exemplo 14.3 (Derivável em exatamente um ponto)

Sejam $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ e $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$. Em $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, de modo que $f$ é derivável em $0$, com $f'(0) = 0$. Em qualquer $x_0 \neq 0$, $f$ nem sequer é contínua: sequências racionais e irracionais que convergem a $x_0$ mandam $f$ a $x_0^2 \neq 0$ e a $0$, respectivamente (densidade, Teorema 10.14). Assim, a derivabilidade é uma noção genuinamente pontual: ela pode valer num ponto de $\R$ e em nenhum outro. A moral para a prática: enunciados como o critério de monotonicidade ou Rolle exigem a derivada num intervalo — possuir $f'(x_0)$ em pontos isolados, por mais numerosos que sejam, não sustenta conclusão global alguma.

Exemplo 14.6 (Derivadas de inversas, duas vezes)

O teorema recalcula as derivadas clássicas sem nenhum trabalho com limites. Para $\ln = \exp^{-1}$: em $y = \eu^x$,

válido para todo $y > 0$, pois $\exp' = \exp$ nunca se anula. Para $\arctan = \tan^{-1}$: em $y = \tan x$,

usando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. A ideia de fechamento: a fórmula converte conhecimento sobre uma função em conhecimento sobre a sua inversa ao preço de uma substituição — e a substituição ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) é exatamente a afirmação de que as duas variáveis vivem em lados opostos da bijeção.