¿Qué es derivada?

Ejemplo 14.2

El recíproco de «derivable $\Rightarrow$ continua» falla: $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$. Más sorprendente aún: ser derivable no implica ser de clase $C^1$; la función $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) es derivable en todas partes, con $f'(0) = 0$, pero $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ no tiene límite en $0$ (Ejercicio 14.2).

Ejemplo 14.3 (Derivable en exactamente un punto)

Sea $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ y $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$. En $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, luego $f$ es derivable en $0$ con $f'(0) = 0$. En cualquier $x_0 \neq 0$, $f$ ni siquiera es continua: sucesiones racionales e irracionales que convergen a $x_0$ mandan $f$ a $x_0^2 \neq 0$ y a $0$, respectivamente (densidad, Teorema 10.14). Así pues, la derivabilidad es una noción genuinamente puntual: puede darse en un punto de $\R$ y en ningún otro. La moraleja práctica: los enunciados como el criterio de monotonía o el de Rolle exigen la derivada en un intervalo — poseer $f'(x_0)$ en puntos aislados, por muchos que sean, no sostiene ninguna conclusión global.

Ejemplo 14.6 (Derivadas de inversas, dos veces)

El teorema recalcula las derivadas clásicas sin ningún trabajo con límites. Para $\ln = \exp^{-1}$: en $y = \eu^x$,

válido para todo $y > 0$, ya que $\exp' = \exp$ no se anula nunca. Para $\arctan = \tan^{-1}$: en $y = \tan x$,

usando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. La idea de cierre: la fórmula convierte el conocimiento de una función en conocimiento de su inversa al precio de una sustitución — y la sustitución ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) es exactamente el enunciado de que las dos variables viven a lados opuestos de la biyección.