Qu'est-ce que « dérivée » ?

Exemple 14.2

La réciproque de « dérivable $\Rightarrow$ continue » est fausse : $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$. Plus surprenant, dérivable n’implique pas $C^1$ : la fonction $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) est dérivable partout, avec $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ n’a pas de limite en $0$ (Exercice 14.2).

Exemple 14.3 (Dérivable en exactement un point)

Soit $f(x) = x^2$ pour $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ pour $x \notin \Q$. En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. En tout $x_0 \neq 0$, $f$ n’est même pas continue : des suites de rationnels et d’irrationnels convergeant vers $x_0$ envoient $f$ sur $x_0^2 \neq 0$ et sur $0$ respectivement (densité, Théorème 10.14). La dérivabilité est donc une notion authentiquement ponctuelle : elle peut avoir lieu en un point de $\R$ et nulle part ailleurs. La morale pour la pratique : des énoncés comme le critère de monotonie ou le théorème de Rolle exigent la dérivée sur un intervalle — posséder $f'(x_0)$ en des points isolés, si nombreux soient-ils, n’autorise absolument aucune conclusion globale.

Exemple 14.6 (Dérivées de réciproques, deux fois)

Le théorème recalcule les dérivées classiques sans aucun travail sur les limites. Pour $\ln = \exp^{-1}$ : en $y = \eu^x$,

valable pour tout $y > 0$ puisque $\exp' = \exp$ ne s’annule jamais. Pour $\arctan = \tan^{-1}$ : en $y = \tan x$,

en utilisant $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. L’idée à retenir : la formule convertit la connaissance d’une fonction en connaissance de sa réciproque au prix d’une seule substitution — et cette substitution ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) dit exactement que les deux variables vivent de part et d’autre de la bijection.