Apa itu turunan?

Contoh 14.2

Konvers “dapat diturunkan $\Rightarrow$ kontinu” gagal: $\abs{\,\cdot\,}$ di $0$. Yang lebih mengejutkan, dapat diturunkan tak mengakibatkan $C^1$: karena fungsi $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) bersifat dapat diturunkan di mana-mana, dengan $f'(0) = 0$, tetapi $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ tak berlimit di $0$ (Latihan 14.2).

Contoh 14.3 (Dapat diturunkan tepat di satu titik)

Misalkan $f(x) = x^2$ untuk $x \in \Q$ dan $f(x) = 0$ untuk $x \notin \Q$. Di $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, sehingga $f$ dapat diturunkan di $0$ dengan $f'(0) = 0$. Adapun di sebarang $x_0 \neq 0$, $f$ bahkan tak kontinu: karena barisan rasional dan irasional yang konvergen ke $x_0$ mengirim $f$ ke $x_0^2 \neq 0$ dan ke $0$ berturut-turut (menurut kepadatannya, Teorema 10.14). Jadi sifat dapat diturunkan sungguh gagasan yang titik demi titik: ia dapat berlaku di satu titik $\R$ dan tak di mana pun lagi. Adapun moralnya bagi praktik: bahwa pernyataan seperti kriteria kemonotonan atau Rolle menuntut turunannya pada sebuah selang — karena memiliki $f'(x_0)$ di titik yang terasing, sebanyak apa pun, tak menyangga kesimpulan menyeluruh apa pun.

Contoh 14.6 (Turunan invers, dua kali)

Teoremanya menghitung ulang turunan klasiknya tanpa kerja limit apa pun. Untuk $\ln = \exp^{-1}$: di $y = \eu^x$,

yang sah untuk setiap $y > 0$ karena $\exp' = \exp$ tak pernah lenyap. Untuk $\arctan = \tan^{-1}$: di $y = \tan x$,

dengan memakai $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. Inti gagasan penutupnya: bahwa rumusnya mengubah pengetahuan tentang sebuah fungsi menjadi pengetahuan tentang inversnya dengan ongkos satu penyulihan — dan penyulihannya ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) persis merupakan pernyataan bahwa kedua variabelnya hidup di sisi yang berlawanan pada bijeksinya.