ما معنى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى؟

مثال 5.3 (معادلة متجانسة بمعامل متغير)

حُلَّ $y' + (\cos x)\,y = 0$ على $\R$. الدالة الأصلية للدالة $a(x) = \cos x$ هي $A(x) = \sin x$، ومنه فالحلول هي

وقراءتان. كل حلّ دوريّ (ودوره $2\pi$) ولا ينعدم أبدًا إلا إذا كان $\lambda = 0$ — فإشارة $\lambda$ هي إشارة $y$ إلى الأبد، لأن الدالة الأسّية لا يمكن أن تقطع الصفر. والحلّ الذي يحقق $y(0) = y_0$ هو $y_0\eu^{-\sin x}$: أي منحنٍ واحد بالضبط من العائلة يمرّ بكل نقطة ابتدائية، وهي الصورة الأحادية البُعد في المبرهنة 5.4 (2).

مثال 5.6 (التخمين يسبق المكاملة)

حُلَّ $y' + 2x\,y = x$ على $\R$. تغيير الثابت يفي بالغرض ($A = x^2$ و $\mu' = x\,\eu^{x^2}$ و$\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$)، لكن ملاحظة أن الثابت $y_p = \frac12$ حلٌّ للمعادلة ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) أسرع. ومع الحلول المتجانسة $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

وكل حلّ يتقارب نحو $\frac12$ بسرعة بالغة عندما $x \to \pm\infty$: فالحل الخاص الثابت توازن تلتحق به كل الحلول. والفكرة النافذة: قبل إطلاق الطريقة العامة، أنفق عشر ثوانٍ في البحث عن حلّ خاص بيّن (ثابت، أو حدّانيّ، أو مضاعف للطرف الأيمن)؛ ثم تُتمّ مبرهنة البنية العمل.

مثال 5.8 (طرف أيمن عقديّ، وجوابان حقيقيان)

حُلَّ $y' - y = \cos x$ و $y' - y = \sin x$ دفعة واحدة. اعمل في $\C$ مع الطرف الأيمن $\eu^{\iu x}$: فتجريب $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ يعطي $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$، ومنه

وبما أن للمعادلة معاملات حقيقية، ينفصل الجزآن الحقيقي والتخيلي: فالدالة $\frac{\sin x - \cos x}2$ حلٌّ للمعادلة $y' - y = \cos x$، والدالة $-\frac{\sin x + \cos x}2$ حلٌّ للمعادلة $y' - y = \sin x$ (وتحقق من الأولى: المشتقة $\frac{\cos x + \sin x}2$، ناقصَ الدالة، تعطي $\cos x$). فقد عوّض سطر عقديّ واحد عن جولتين من تغيير الثابت — وهو الاقتصاد نفسه الذي يمنهجه الطريقة 5.13 من أجل الرتبة الثانية، وهو فائدة متكررة من الفصل 3.