Apa itu persamaan diferensial linear orde satu?

Contoh 5.3 (Persamaan homogen berkoefisien variabel)

Selesaikan $y' + (\cos x)\,y = 0$ pada $\R$. Sebuah antiturunan $a(x) = \cos x$ adalah $A(x) = \sin x$, jadi penyelesaiannya adalah

Dua pembacaan. Setiap penyelesaiannya periodik (dengan periode $2\pi$) dan tak pernah lenyap kecuali bila $\lambda = 0$ — tanda $\lambda$ adalah tanda $y$ untuk selamanya, karena eksponensial tak dapat memotong nol. Dan penyelesaian yang melewati $y(0) = y_0$ adalah $y_0\eu^{-\sin x}$: jadi tepat satu kurva keluarga itu melewati setiap titik awal, yaitu gambaran berdimensi satu dari Teorema 5.4 (2).

Contoh 5.6 (Menerka mengalahkan mengintegralkan)

Selesaikan $y' + 2x\,y = x$ pada $\R$. Variasi konstanta memang berhasil ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), tetapi mengamati bahwa konstanta $y_p = \frac12$ memenuhi persamaan itu ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) jauh lebih cepat. Dengan penyelesaian homogennya $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

Setiap penyelesaiannya konvergen ke $\frac12$ dengan sangat cepat ketika $x \to \pm\infty$: penyelesaian khusus yang konstan itu adalah sebuah kesetimbangan yang dihampiri semua penyelesaian. Inti gagasannya: sebelum meluncurkan metode umumnya, luangkan sepuluh detik untuk mencari penyelesaian khusus yang kasatmata (konstanta, monomial, kelipatan ruas kanan); teorema strukturnya lalu merampungkan pekerjaannya.

Contoh 5.8 (Ruas kanan yang kompleks, dua jawaban real)

Selesaikan $y' - y = \cos x$ dan $y' - y = \sin x$ sekaligus. Bekerjalah di $\C$ dengan ruas kanan $\eu^{\iu x}$: mencoba $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ memberikan $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, jadi

Karena persamaannya berkoefisien real, bagian real dan bagian imajinernya terpisah: $\frac{\sin x - \cos x}2$ memenuhi $y' - y = \cos x$, dan $-\frac{\sin x + \cos x}2$ memenuhi $y' - y = \sin x$ (periksa yang pertama: turunannya $\frac{\cos x + \sin x}2$, dikurangi fungsinya, memberikan $\cos x$). Satu baris kompleks menggantikan dua kali variasi konstanta — penghematan yang sama seperti yang disistematiskan Metode 5.13 untuk orde dua, dan dividen yang berulang dari Bab 3.