Wat is differentiaalvergelijking lineair van de eerste orde?

Voorbeeld 5.3 (Een homogene vergelijking met variabele coëfficiënt)

Los $y' + (\cos x)\,y = 0$ op op $\R$. Een primitieve functie van $a(x) = \cos x$ is $A(x) = \sin x$, dus de oplossingen zijn

Twee lezingen. Elke oplossing is periodiek (periode $2\pi$) en wordt nooit nul tenzij $\lambda = 0$ — het teken van $\lambda$ is voor altijd het teken van $y$, want een exponentiële kan de nul niet oversteken. En de oplossing door $y(0) = y_0$ is $y_0\eu^{-\sin x}$: precies één kromme van de familie door elk beginpunt, het eendimensionale beeld van Stelling 5.4 (2).

Voorbeeld 5.6 (Raden verslaat integreren)

Los $y' + 2x\,y = x$ op op $\R$. Variatie van constanten werkt ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), maar opmerken dat de constante $y_p = \frac12$ de vergelijking oplost ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) gaat sneller. Met de homogene oplossingen $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

Elke oplossing convergeert bijzonder snel naar $\frac12$ als $x \to \pm\infty$: de constante particuliere oplossing is een evenwicht waar alle oplossingen bij aansluiten. Het inzicht: vóór je de algemene methode start, besteed je tien seconden aan het zoeken naar een voor de hand liggende particuliere oplossing (een constante, een monoom, een veelvoud van het rechterlid); de structuurstelling maakt het werk dan af.

Voorbeeld 5.8 (Eén complex rechterlid, twee reële antwoorden)

Los $y' - y = \cos x$ en $y' - y = \sin x$ in één beweging op. Werk in $\C$ met het rechterlid $\eu^{\iu x}$: de poging $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ geeft $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, dus

Omdat de vergelijking reële coëfficiënten heeft, splitsen reëel en imaginair deel: $\frac{\sin x - \cos x}2$ lost $y' - y = \cos x$ op, en $-\frac{\sin x + \cos x}2$ lost $y' - y = \sin x$ op (controleer de eerste: de afgeleide $\frac{\cos x + \sin x}2$ min de functie geeft $\cos x$). Eén complexe regel verving twee keer variatie van constanten — dezelfde zuinigheid die Methode 5.13 voor de tweede orde systematiseert, en een terugkerend dividend van Hoofdstuk 3.