अवकल समीकरण प्रथम कोटि रैखिक क्या है?

उदाहरण 5.3 (चर गुणांक वाला समांगी समीकरण)

$\R$ पर $y' + (\cos x)\,y = 0$ हल कीजिए। $a(x) = \cos x$ का एक प्रतिअवकलज $A(x) = \sin x$ है, अतः हल हैं

दो पाठ। प्रत्येक हल आवर्ती है (आवर्तकाल $2\pi$) और $\lambda = 0$ के अतिरिक्त कभी लुप्त नहीं होता — $\lambda$ का चिह्न सदा के लिए $y$ का चिह्न रहता है, क्योंकि चरघातांकी शून्य को पार नहीं कर सकता। और $y(0) = y_0$ से होकर जाने वाला हल $y_0\eu^{-\sin x}$ है: प्रत्येक आरंभिक बिंदु से होकर इस कुल का ठीक एक वक्र, जो प्रमेय 5.4 (2) का एकविमीय चित्र है।

उदाहरण 5.6 (अनुमान लगाना समाकलन से अच्छा है)

$\R$ पर $y' + 2x\,y = x$ हल कीजिए। अचरों का विचरण काम करता है ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), पर यह देख लेना कि अचर $y_p = \frac12$ समीकरण को हल करता है ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$), अधिक तेज़ है। समांगी हलों $\lambda\,\eu^{-x^2}$ के साथ:

जब $x \to \pm\infty$, तब प्रत्येक हल अत्यंत तेज़ी से $\frac12$ की ओर अभिसरित होता है: अचर विशिष्ट हल एक साम्यावस्था है जिससे सभी हल आ मिलते हैं। सार: सामान्य विधि चलाने से पहले दस सेकंड कोई स्पष्ट विशिष्ट हल (अचर, एकपदी, दाएँ पक्ष का गुणज) ढूँढ़ने में लगाइए; संरचना प्रमेय फिर काम पूरा कर देती है।

उदाहरण 5.8 (सम्मिश्र दायाँ पक्ष, दो वास्तविक उत्तर)

$y' - y = \cos x$ और $y' - y = \sin x$ को एक ही चाल में हल कीजिए। दाएँ पक्ष $\eu^{\iu x}$ के साथ $\C$ में काम कीजिए: $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ आज़माने पर $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$ मिलता है, अतः

चूँकि समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं, वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग हो जाते हैं: $\frac{\sin x - \cos x}2$ $y' - y = \cos x$ को हल करता है, और $-\frac{\sin x + \cos x}2$ $y' - y = \sin x$ को (पहले की जाँच: अवकलज $\frac{\cos x + \sin x}2$, में से फलन घटाने पर $\cos x$ मिलता है)। एक सम्मिश्र पंक्ति ने अचरों के विचरण की दो दौड़ों की जगह ले ली — वही मितव्ययिता जिसे विधि 5.13 द्वितीय कोटि के लिए व्यवस्थित करता है, और अध्याय 3 का बार-बार मिलने वाला लाभांश।