O que é equação diferencial linear de primeira ordem?

Exemplo 5.3 (Uma equação homogênea com coeficiente variável)

Resolva $y' + (\cos x)\,y = 0$ em $\R$. Uma primitiva de $a(x) = \cos x$ é $A(x) = \sin x$, de modo que as soluções são

Duas leituras. Toda solução é periódica (de período $2\pi$) e nunca se anula, a menos que $\lambda = 0$ — o sinal de $\lambda$ é para sempre o sinal de $y$, pois uma exponencial não pode cruzar o zero. E a solução que passa por $y(0) = y_0$ é $y_0\eu^{-\sin x}$: exatamente uma curva da família por cada ponto inicial, o retrato unidimensional do Teorema 5.4 (2).

Exemplo 5.6 (Adivinhar bate integrar)

Resolva $y' + 2x\,y = x$ em $\R$. A variação das constantes funciona ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), mas observar que a constante $y_p = \frac12$ resolve a equação ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) é mais rápido. Com as soluções homogêneas $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

Toda solução converge para $\frac12$ extremamente depressa quando $x \to \pm\infty$: a solução particular constante é um equilíbrio ao qual todas as soluções se juntam. A ideia: antes de lançar o método geral, gaste dez segundos procurando uma solução particular óbvia (constante, monômio, múltiplo do lado direito); o teorema de estrutura conclui então o trabalho.

Exemplo 5.8 (Um lado direito complexo, duas respostas reais)

Resolva $y' - y = \cos x$ e $y' - y = \sin x$ de uma só vez. Trabalhe em $\C$ com o lado direito $\eu^{\iu x}$: tentar $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ dá $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, de modo que

Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária se separam: $\frac{\sin x - \cos x}2$ resolve $y' - y = \cos x$, e $-\frac{\sin x + \cos x}2$ resolve $y' - y = \sin x$ (verifique a primeira: a derivada $\frac{\cos x + \sin x}2$, menos a função, dá $\cos x$). Uma linha complexa substituiu duas execuções da variação das constantes — a mesma economia que o Método 5.13 sistematiza para a segunda ordem, e um dividendo recorrente do Capítulo 3.