¿Qué es ecuación diferencial lineal de primer orden?

Ejemplo 5.3 (Una ecuación homogénea de coeficiente variable)

Resuélvase $y' + (\cos x)\,y = 0$ en $\R$. Una primitiva de $a(x) = \cos x$ es $A(x) = \sin x$, luego las soluciones son

Dos lecturas. Toda solución es periódica (de período $2\pi$) y no se anula nunca salvo si $\lambda = 0$ — el signo de $\lambda$ es para siempre el signo de $y$, pues una exponencial no puede cruzar el cero. Y la solución con $y(0) = y_0$ es $y_0\eu^{-\sin x}$: exactamente una curva de la familia por cada punto inicial, la imagen unidimensional del Teorema 5.4 (2).

Ejemplo 5.6 (Adivinar gana a integrar)

Resuélvase $y' + 2x\,y = x$ en $\R$. La variación de las constantes funciona ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), pero observar que la constante $y_p = \frac12$ resuelve la ecuación ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) es más rápido. Con las soluciones homogéneas $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

Toda solución converge a $\frac12$ con enorme rapidez cuando $x \to \pm\infty$: la solución particular constante es un equilibrio al que se unen todas las demás. La idea clave: antes de lanzar el método general, dedíquense diez segundos a buscar una solución particular evidente (constante, monomio, múltiplo del miembro derecho); el teorema de estructura remata después el trabajo.

Ejemplo 5.8 (Un miembro derecho complejo, dos respuestas reales)

Resuélvanse $y' - y = \cos x$ e $y' - y = \sin x$ de una vez. Se trabaja en $\C$ con el miembro derecho $\eu^{\iu x}$: probando $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ se obtiene $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, luego

Como la ecuación tiene coeficientes reales, las partes real e imaginaria se separan: $\frac{\sin x - \cos x}2$ resuelve $y' - y = \cos x$, y $-\frac{\sin x + \cos x}2$ resuelve $y' - y = \sin x$ (compruébese la primera: su derivada, $\frac{\cos x + \sin x}2$, menos la función da $\cos x$). Una línea compleja ha sustituido a dos pasadas de variación de las constantes — la misma economía que el Método 5.13 sistematiza para el segundo orden, y un dividendo recurrente del Capítulo 3.