Qu'est-ce que « équation différentielle linéaire du premier ordre » ?

Exemple 5.3 (Une équation homogène à coefficient variable)

Résolvons $y' + (\cos x)\,y = 0$ sur $\R$. Une primitive de $a(x) = \cos x$ est $A(x) = \sin x$, donc les solutions sont

Deux lectures. Toute solution est périodique (de période $2\pi$) et ne s’annule jamais sauf si $\lambda = 0$ — le signe de $\lambda$ est pour toujours le signe de $y$, puisqu’une exponentielle ne peut traverser zéro. Et la solution passant par $y(0) = y_0$ est $y_0\eu^{-\sin x}$ : exactement une courbe de la famille par chaque point initial, l’image en dimension un du Théorème 5.4 (2).

Exemple 5.6 (Deviner vaut mieux qu’intégrer)

Résolvons $y' + 2x\,y = x$ sur $\R$. La variation de la constante fonctionne ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), mais remarquer que la constante $y_p = \frac12$ est solution de l’équation ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) est plus rapide. Avec les solutions homogènes $\lambda\,\eu^{-x^2}$ :

Toute solution converge vers $\frac12$ extrêmement vite quand $x \to \pm\infty$ : la solution particulière constante est un équilibre que toutes les solutions rejoignent. L’idée à retenir : avant de lancer la méthode générale, consacrez dix secondes à chercher une solution particulière évidente (constante, monôme, multiple du second membre) ; le théorème de structure achève ensuite le travail.

Exemple 5.8 (Un second membre complexe, deux réponses réelles)

Résolvons $y' - y = \cos x$ et $y' - y = \sin x$ d’un seul coup. Travaillons dans $\C$ avec le second membre $\eu^{\iu x}$ : en essayant $y_p = c\,\eu^{\iu x}$, on obtient $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, donc

Comme l’équation est à coefficients réels, les parties réelle et imaginaire se séparent : $\frac{\sin x - \cos x}2$ est solution de $y' - y = \cos x$, et $-\frac{\sin x + \cos x}2$ est solution de $y' - y = \sin x$ (vérifions la première : sa dérivée $\frac{\cos x + \sin x}2$, moins la fonction, donne $\cos x$). Une seule ligne complexe a remplacé deux passages par la variation de la constante — la même économie que la Méthode 5.13 systématise au second ordre, et un dividende récurrent du Chapitre 3.