ما معنى الصور التامة والصور المغلقة؟ — الرياضيات

تعريف 20.5 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 20 — التكاملات المنحنية والتكاملات المتعددة

تكون الصورة $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ من الصنف $\mathcal{C}^0$ تامة على $U$ إذا وُجدت $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (وهي كمون) تحقق $\omega = \dd f$ ، أي $P = f_x$ و $Q = f_y$ . وتكون صورة من الصنف $\mathcal{C}^1$ مغلقة إذا كان $P_y = Q_x$ على $U$ .

أمثلة

مثال 20.7 (إعادة بناء كمون)

لتكن $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ على $\R^2$ . وهي مغلقة: فالمشتقتان المتقاطعتان تساويان معا $\eu^{xy}(1 + xy)$ . ولإيجاد كمون، نكامل $P$ بدلالة $x$ عند تثبيت $y$ :

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

ثم نضبط $c$ بمطابقة $f_y$ : فيعطي $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ المقدار $c(y) = y^2$ . ومنه $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ ، ومن أجل أي قوس من الصنف $\mathcal C^1$ بالقطع من $(0,0)$ إلى $(1,1)$ ،

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

بصورة مستقلة عن المسار — والوصفة ذات الخطوتين (كامل بدلالة $x$ ، وصحّح بدلالة $y$ ) هي العكس العملي للمبرهنة المبرهنة 20.6 على المناطق التي تكون فيها الصور المغلقة تامة.

مثال 20.8 (المغلقة لا تعني التامة)

على $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ، تكون صورة الزاوية

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

مغلقة (بحساب مباشر: فكل من $P_y$ و $Q_x$ يساوي $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ )، لكن تكاملها على طول دائرة الوحدة هو $2\pi \neq 0$ (بالحساب نفسه في المثال 20.3، مقسوما على $1$ ): ومنه فإن $\omega$ ليست تامة على $U$ . ومحليا، $\omega = \dd\theta$ من أجل تعيين $\theta$ للزاوية القطبية؛ والفشل شامل — فلا يمكن تعريف الزاوية تعريفا متصلا حول الثقب. وعلى المناطق الخالية من الثقوب يختفي المرض: فعلى مفتوح نجمي الشكل، تكون كل صورة مغلقة من الصنف $\mathcal{C}^1$ تامة (مبرهنة بوانكاريه، التمرين 20.8).

اقرأ في الفصل ←