Qu'est-ce que « Formes exactes et fermées » ? — Mathématiques

Définition 20.5 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 20 — Intégrales curvilignes et intégrales multiples

La forme $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de classe $\mathcal{C}^0$ est exacte sur $U$ s’il existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (un potentiel) tel que $\omega = \dd f$ , c.-à-d. $P = f_x$ et $Q = f_y$ . Une forme $\mathcal{C}^1$ est fermée si $P_y = Q_x$ sur $U$ .

Exemples

Exemple 20.7 (Reconstruction d’un potentiel)

Soit $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sur $\R^2$ . Elle est fermée : les deux dérivées croisées valent $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Pour trouver un potentiel, intégrons $P$ en $x$ à $y$ fixé :

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

puis ajustons $c$ en identifiant $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ donne $c(y) = y^2$ . Donc $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , et pour tout arc $\mathcal C^1$ par morceaux de $(0,0)$ à $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

indépendamment du chemin — la recette en deux temps (intégrer en $x$ , corriger en $y$ ) est la réciproque pratique du Théorème 20.6 sur les domaines où les formes fermées sont exactes.

Exemple 20.8 (Fermée n’implique pas exacte)

Sur $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , la forme angulaire

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

est fermée (calcul direct : $P_y$ et $Q_x$ valent tous deux $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), mais son intégrale le long du cercle unité vaut $2\pi \neq 0$ (même calcul qu’à l’Exemple 20.3, divisé par $1$ ) : $\omega$ n’est pas exacte sur $U$ . Localement, $\omega = \dd\theta$ pour une détermination $\theta$ de l’angle polaire ; l’obstruction est globale — l’angle ne peut pas être défini continûment autour du point retiré. Sur les domaines sans trous, la pathologie disparaît : sur un ouvert étoilé, toute forme $\mathcal{C}^1$ fermée est exacte (lemme de Poincaré, Exercice 20.8).

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