यथातथ और संवृत रूप क्या है? — गणित

परिभाषा 20.5 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 20 — रेखा समाकल और बहुक समाकल

वर्ग $\mathcal{C}^0$ का रूप $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ $U$ पर यथातथ है यदि कोई ऐसा $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (कोई विभव) हो कि $\omega = \dd f$ , अर्थात् $P = f_x$ तथा $Q = f_y$ । कोई $\mathcal{C}^1$ रूप संवृत है यदि $U$ पर $P_y = Q_x$ हो।

उदाहरण

उदाहरण 20.7 (किसी विभव का पुनर्निर्माण)

मान लीजिए $\R^2$ पर $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ । वह संवृत है: दोनों मिश्रित अवकलज $\eu^{xy}(1 + xy)$ के बराबर हैं। कोई विभव ढूँढ़ने के लिए $y$ स्थिर रखकर $P$ का $x$ में समाकलन कीजिए:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

फिर $f_y$ से मिलान करके $c$ समंजित कीजिए: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ $c(y) = y^2$ देता है। अतः $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , और $(0,0)$ से $(1,1)$ तक किसी भी खंडशः $\mathcal C^1$ चाप के लिए

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

जो पथ पर निर्भर नहीं — दो-पग वाला नुस्ख़ा ( $x$ में समाकलन कीजिए, $y$ में सुधार कीजिए) उन प्रांतों पर प्रमेय 20.6 का व्यावहारिक विलोम है जहाँ संवृत रूप यथातथ होते हैं।

उदाहरण 20.8 (संवृत होने से यथातथ होना नहीं निकलता)

$U = \R^2 \setminus \{0\}$ पर कोण रूप

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

संवृत है (सीधा परिकलन: $P_y$ तथा $Q_x$ दोनों $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ के बराबर हैं), पर इकाई वृत्त के अनुदिश उसका समाकल $2\pi \neq 0$ है (वही परिकलन जो उदाहरण 20.3 में है, $1$ से भाग देकर): अर्थात् $\omega$ $U$ पर यथातथ नहीं है। स्थानीय रूप से ध्रुवीय कोण के किसी निर्धारण $\theta$ के लिए $\omega = \dd\theta$ ; विफलता वैश्विक है — छिद्र के चारों ओर कोण को संतत रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता। बिना छेद वाले प्रांतों पर यह रोग ग़ायब हो जाता है: किसी तारकाकार विवृत समुच्चय पर हर संवृत $\mathcal{C}^1$ रूप यथातथ होता है (प्वांकारे की प्रमेयिका, अभ्यास 20.8)।

अध्याय में पढ़ें →