O que é Formas exatas e fechadas? — Matemática

Definição 20.5 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 20 — Integrais de linha e integrais múltiplas

A forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de classe $\mathcal{C}^0$ é exata em $U$ se existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (um potencial) com $\omega = \dd f$ , isto é, $P = f_x$ e $Q = f_y$ . Uma forma $\mathcal{C}^1$ é fechada se $P_y = Q_x$ em $U$ .

Exemplos

Exemplo 20.7 (Reconstruindo um potencial)

Seja $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ em $\R^2$ . Ela é fechada: ambas as derivadas cruzadas valem $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Para achar um potencial, integre $P$ em $x$ com $y$ fixo:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

depois ajuste $c$ igualando $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ dá $c(y) = y^2$ . Assim $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ e, para qualquer arco $\mathcal C^1$ por pedaços de $(0,0)$ a $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

independentemente do caminho — a receita em dois passos (integrar em $x$ , corrigir em $y$ ) é a recíproca prática do Teorema 20.6 em domínios em que as formas fechadas são exatas.

Exemplo 20.8 (Fechada não implica exata)

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , a forma ângulo

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

é fechada (cálculo direto: tanto $P_y$ quanto $Q_x$ valem $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), mas sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$ (mesmo cálculo do Exemplo 20.3, dividido por $1$ ): $\omega$ não é exata em $U$ . Localmente, $\omega = \dd\theta$ para uma determinação $\theta$ do ângulo polar; a falha é global — o ângulo não pode ser definido continuamente em torno do furo. Em domínios sem buracos a patologia desaparece: num aberto estrelado, toda forma $\mathcal{C}^1$ fechada é exata (lema de Poincaré, Exercício 20.8).

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