Wat is Exacte en gesloten vormen? — Wiskunde

Definitie 20.5 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 20 — Lijnintegralen en meervoudige integralen

De vorm $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ van klasse $\mathcal{C}^0$ heet exact op $U$ wanneer er een $f \in \mathcal{C}^1(U)$ bestaat (een potentiaal) met $\omega = \dd f$ , dat wil zeggen $P = f_x$ en $Q = f_y$ . Een $\mathcal{C}^1$ -vorm heet gesloten wanneer $P_y = Q_x$ op $U$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 20.7 (Een potentiaal reconstrueren)

Zij $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ op $\R^2$ . Zij is gesloten: beide gemengde afgeleiden zijn gelijk aan $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Om een potentiaal te vinden, integreer je $P$ naar $x$ bij vaste $y$ :

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

en pas je $c$ aan door $f_y$ te laten kloppen: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ geeft $c(y) = y^2$ . Dus $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , en voor elke stuksgewijs $\mathcal C^1$ -boog van $(0,0)$ naar $(1,1)$ is

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

onafhankelijk van het pad — het recept in twee stappen (integreren naar $x$ , corrigeren in $y$ ) is de praktische omkering van Stelling 20.6 op gebieden waar gesloten vormen exact zijn.

Voorbeeld 20.8 (Gesloten impliceert niet exact)

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is de hoekvorm

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

gesloten (rechtstreekse berekening: zowel $P_y$ als $Q_x$ is gelijk aan $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), maar haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq 0$ (dezelfde berekening als in Voorbeeld 20.3, gedeeld door $1$ ): $\omega$ is niet exact op $U$ . Lokaal is $\omega = \dd\theta$ voor een bepaling $\theta$ van de poolhoek; het falen is globaal — de hoek kan niet continu rond het gat worden gedefinieerd. Op gebieden zonder gaten verdwijnt de pathologie: op een stervormige open verzameling is elke gesloten $\mathcal{C}^1$ -vorm exact (het lemma van Poincaré, Oefening 20.8).

Lees in het hoofdstuk →