¿Qué es Formas exactas y cerradas? — Matemáticas

Definición 20.5 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 20 — Integrales curvilíneas e integrales múltiples

La forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de clase $\mathcal{C}^0$ es exacta sobre $U$ si existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (un potencial) con $\omega = \dd f$ , es decir, $P = f_x$ y $Q = f_y$ . Una forma $\mathcal{C}^1$ es cerrada si $P_y = Q_x$ sobre $U$ .

Ejemplos

Ejemplo 20.7 (Reconstruir un potencial)

Sea $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sobre $\R^2$ . Es cerrada: ambas derivadas cruzadas valen $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Para hallar un potencial, intégrese $P$ en $x$ con $y$ fijo:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

y ajústese después $c$ igualando $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ da $c(y) = y^2$ . Así pues, $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , y para todo arco $\mathcal C^1$ a trozos de $(0,0)$ a $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

independientemente del camino; la receta en dos pasos (integrar en $x$ , corregir en $y$ ) es el recíproco práctico del Teorema 20.6 sobre los dominios donde las formas cerradas son exactas.

Ejemplo 20.8 (Cerrada no implica exacta)

Sobre $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , la forma ángulo

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

es cerrada (cálculo directo: tanto $P_y$ como $Q_x$ valen $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), pero su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ (el mismo cálculo del Ejemplo 20.3, dividido por $1$ ): $\omega$ no es exacta sobre $U$ . Localmente, $\omega = \dd\theta$ para una determinación $\theta$ del ángulo polar; el fallo es global: el ángulo no puede definirse de manera continua alrededor del pinchazo. Sobre dominios sin agujeros la patología desaparece: en un abierto estrellado, toda forma $\mathcal{C}^1$ cerrada es exacta (lema de Poincaré, Ejercicio 20.8).

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