حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى تكامل معتل؟

تعريف 9.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 9 — التكامل

لتكن ff متصلة على قطع في [a, b)\intco{a}{b} (مع b∈Rb \in \R أو +∞+\infty). يتقارب التكامل حين يوجد lim⁡x→b−∫axf\lim_{x \to b^-} \int_a^x f؛ ونكتب عندئذٍ ∫abf\int_a^b f للنهاية. (وكذلك على (a, b]\intoc{a}{b}، وعلى (a, b)\intoo{a}{b} بالفصل عند نقطة داخلية — ولا يهمّ الاختيار، بعلاقة شال.) ويتقارب التكامل بإطلاق حين يتقارب ∫ab∣f∣\int_a^b \abs f؛ ويستلزم التقارب المطلق التقاربَ، بمحك كوشي:

∣∫xyf∣≤∫xy∣f∣\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

وبتمام R\R (فللدالة الأصلية خاصية كوشي). وبالتفصيل: لتكن F(x)=∫axfF(x) = \int_a^x f ولتكن G(x)=∫ax∣f∣G(x) = \int_a^x \abs f. فإذا تقارب ∫b∣f∣\int^b\abs f، فللمقدار GG نهاية عند b−b^-، ومن ثم يوجد من أجل كل ε>0\varepsilon > 0 عدد c<bc < b يحقق G(y)−G(x)≤εG(y) - G(x) \leq \varepsilon كلما c≤x≤y<bc \leq x \leq y < b؛ وتنقل الصيغة المعروضة خاصية كوشي هذه إلى FF. ومن أجل أي متتالية xn→b−x_n \to b^- تشكّل القيم F(xn)F(x_n) عندئذٍ متتالية كوشي من الأعداد الحقيقية، متقاربة بحكم التمام، ويبيّن تداخل متتاليتين كهاتين أن النهاية واحدة من أجلها جميعًا: أي إن للمقدار FF نهاية عند b−b^-.

أمثلة

مثال 9.3 (تمرينان تمهيديان، منفَّذان إلى النهاية)

(أ) ∫01ln⁡t  ⁣dt\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t: تنفجر الدالة المكامَلة عند 0+0^+، لكن ∣ln⁡t∣=o(t−1/2)\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr) هناك (فاللوغاريتمات تخسر أمام القوى)، ويتقارب ∫0t−1/2\int_0 t^{-1/2}: أي التقارب المطلق. والقيمة، بالمكاملة بالتجزئة على [ε, 1]\intcc{\varepsilon}{1}:

∫ε1ln⁡t  ⁣dt=[tln⁡t−t]ε1=−1−εln⁡ε+ε→ε→0+−1.\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(ب) ∫0∞ln⁡t1+t2  ⁣dt\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t: المشكلة عند الطرفين، فنفصل عند 11. وقرب 00: ∣ln⁡t∣\abs{\ln t} قابلة للمكاملة كما في (أ)؛ وقرب ∞\infty: ln⁡t1+t2=o(t−3/2)\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2}): أي التقارب المطلق. ويرسل التعويض t=1ut = \frac1u الفترةَ (0, 1)\intoo{0}{1} على (1, ∞)\intoo{1}{\infty} ويكون

∫01ln⁡t1+t2  ⁣dt=∫1∞−ln⁡u1+u−2⋅ ⁣duu2=−∫1∞ln⁡u1+u2  ⁣du:\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

فيتلاشى النصفان، ويكون التكامل 00. والفكرة الختامية: التناظر تحت t↦1tt \mapsto \frac1t يساوي صفحة من الحساب — والحيلة نفسها شغّلت التمرين 9.3 بالفعل.

مثال 9.4 (قيمة واحدة، وثلاثة تكاملات)

لندرس I=∫0∞1−cos⁡tt2  ⁣dtI = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t. عند 00: 1−cos⁡t∼t221 - \cos t \sim \frac{t^2}2، ومن ثم تمتدّ الدالة المكامَلة بالاتصال بالقيمة 12\frac12 — فلا شذوذ إطلاقًا. وعند ∞\infty: 0≤1−cos⁡tt2≤2t20 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}: أي التقارب المطلق (المبرهنة 9.2). والقيمة: نكامل بالتجزئة على [ε, M]\intcc{\varepsilon}{M} مع u=1−cos⁡tu = 1 - \cos t، v′=t−2v' = t^{-2}:

∫εM1−cos⁡tt2  ⁣dt=[−1−cos⁡tt]εM+∫εMsin⁡tt  ⁣dt.\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

وينعدم القوس عند الطرفين (لأن 1−cos⁡εε∼ε2\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2؛ وبسط محدود عند MM)، ويؤول التكامل إلى قيمة ديريكليه π2\frac\pi2 (التمرين 9.10): أي I=π2I = \frac\pi2. والفكرة الختامية: مع 1−cos⁡t=2sin⁡2t21 - \cos t = 2\sin^2\frac t2 وu=t2u = \frac t2،

I=∫0∞2sin⁡2u(2u)2  2  ⁣du=∫0∞(sin⁡uu) ⁣2 ⁣du:I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

فالكلاسيكيات الثلاث ∫0∞sin⁡tt ⁣dt\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t و ∫0∞(sin⁡tt)2 ⁣dt\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t (التمرين 9.11) وII تشترك كلها في القيمة π2\frac\pi2، متناقلةً بالتجزئة والتعويض — و الأولى وحدها نصف متقاربة: فقد قايضت المكاملة بالتجزئة التقاربَ المطلق بدالة مكامَلة أبسط.

مثال 9.5 (تكامل نصف متقارب)

∫1∞sin⁡tt  ⁣dt\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t يتقارب: نكامل بالتجزئة،

∫1xsin⁡tt ⁣dt=[−cos⁡tt]1x−∫1xcos⁡tt2 ⁣dt,\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

حيث للقوس نهاية والتكامل الأخير يتقارب بإطلاق (∣cos⁡t∣/t2≤t−2\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}). لكن لا بإطلاق: فمن ∣sin⁡t∣≥sin⁡2t\abs{\sin t} \geq \sin^2 t،

∫1x∣sin⁡t∣t  ⁣dt  ≥  ∫1xsin⁡2tt  ⁣dt=∫1x ⁣dt2t⏟= 12ln⁡x → ∞  −  ∫1xcos⁡2t2t  ⁣dt⏟متقارب,\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{متقارب}} ,

حيث يتقارب التكامل الأخير بالمكاملة بالتجزئة نفسها أعلاه (مع sin⁡2t\sin 2t في القوس): فقطعة متباعدة ناقص قطعة متقاربة تتباعد. ومن ثم يتقارب ∫1∞sin⁡tt ⁣dt\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t دون أن يتقارب بإطلاق — وهو نظير المتسلسلة المتناوبة في التكاملات، وتلعب المكاملة بالتجزئة فيه دور محك المتناوبات.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة