ما معنى تكامل معتل؟ — الرياضيات

تعريف 9.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 9 — التكامل

لتكن $f$ متصلة على قطع في $\intco{a}{b}$ (مع $b \in \R$ أو $+\infty$ ). يتقارب التكامل حين يوجد $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ ؛ ونكتب عندئذٍ $\int_a^b f$ للنهاية. (وكذلك على $\intoc{a}{b}$ ، وعلى $\intoo{a}{b}$ بالفصل عند نقطة داخلية — ولا يهمّ الاختيار، بعلاقة شال.) ويتقارب التكامل بإطلاق حين يتقارب $\int_a^b \abs f$ ؛ ويستلزم التقارب المطلق التقاربَ، بمحك كوشي:

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

وبتمام $\R$ (فللدالة الأصلية خاصية كوشي). وبالتفصيل: لتكن $F(x) = \int_a^x f$ ولتكن $G(x) = \int_a^x \abs f$ . فإذا تقارب $\int^b\abs f$ ، فللمقدار $G$ نهاية عند $b^-$ ، ومن ثم يوجد من أجل كل $\varepsilon > 0$ عدد $c < b$ يحقق $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ كلما $c \leq x \leq y < b$ ؛ وتنقل الصيغة المعروضة خاصية كوشي هذه إلى $F$ . ومن أجل أي متتالية $x_n \to b^-$ تشكّل القيم $F(x_n)$ عندئذٍ متتالية كوشي من الأعداد الحقيقية، متقاربة بحكم التمام، ويبيّن تداخل متتاليتين كهاتين أن النهاية واحدة من أجلها جميعًا: أي إن للمقدار $F$ نهاية عند $b^-$ .

أمثلة

مثال 9.3 (تمرينان تمهيديان، منفَّذان إلى النهاية)

(أ) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : تنفجر الدالة المكامَلة عند $0^+$ ، لكن $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ هناك (فاللوغاريتمات تخسر أمام القوى)، ويتقارب $\int_0 t^{-1/2}$ : أي التقارب المطلق. والقيمة، بالمكاملة بالتجزئة على $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(ب) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : المشكلة عند الطرفين، فنفصل عند $1$ . وقرب $0$ : $\abs{\ln t}$ قابلة للمكاملة كما في (أ)؛ وقرب $\infty$ : $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : أي التقارب المطلق. ويرسل التعويض $t = \frac1u$ الفترةَ $\intoo{0}{1}$ على $\intoo{1}{\infty}$ ويكون

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

فيتلاشى النصفان، ويكون التكامل $0$ . والفكرة الختامية: التناظر تحت $t \mapsto \frac1t$ يساوي صفحة من الحساب — والحيلة نفسها شغّلت التمرين 9.3 بالفعل.

مثال 9.4 (قيمة واحدة، وثلاثة تكاملات)

لندرس $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . عند $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ ، ومن ثم تمتدّ الدالة المكامَلة بالاتصال بالقيمة $\frac12$ — فلا شذوذ إطلاقًا. وعند $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : أي التقارب المطلق (المبرهنة 9.2). والقيمة: نكامل بالتجزئة على $\intcc{\varepsilon}{M}$ مع $u = 1 - \cos t$ ، $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

وينعدم القوس عند الطرفين (لأن $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ؛ وبسط محدود عند $M$ )، ويؤول التكامل إلى قيمة ديريكليه $\frac\pi2$ (التمرين 9.10): أي $I = \frac\pi2$ . والفكرة الختامية: مع $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ و $u = \frac t2$ ،

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

فالكلاسيكيات الثلاث $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ و $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (التمرين 9.11) و $I$ تشترك كلها في القيمة $\frac\pi2$ ، متناقلةً بالتجزئة والتعويض — و الأولى وحدها نصف متقاربة: فقد قايضت المكاملة بالتجزئة التقاربَ المطلق بدالة مكامَلة أبسط.

مثال 9.5 (تكامل نصف متقارب)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ يتقارب: نكامل بالتجزئة،

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

حيث للقوس نهاية والتكامل الأخير يتقارب بإطلاق ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). لكن لا بإطلاق: فمن $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ ،

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{متقارب}} ,

حيث يتقارب التكامل الأخير بالمكاملة بالتجزئة نفسها أعلاه (مع $\sin 2t$ في القوس): فقطعة متباعدة ناقص قطعة متقاربة تتباعد. ومن ثم يتقارب $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ دون أن يتقارب بإطلاق — وهو نظير المتسلسلة المتناوبة في التكاملات، وتلعب المكاملة بالتجزئة فيه دور محك المتناوبات.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة