¿Qué es integral impropia? — Matemáticas

Definición 9.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 9 — Integración

Sea $f$ continua a trozos sobre $\intco{a}{b}$ ( $b \in \R$ o $+\infty$ ). La integral converge cuando existe $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ ; se escribe entonces $\int_a^b f$ para el límite. (Análogamente sobre $\intoc{a}{b}$ , y sobre $\intoo{a}{b}$ separando en un punto interior; la elección no importa, por Chasles.) La integral converge absolutamente cuando converge $\int_a^b \abs f$ ; la convergencia absoluta implica la convergencia, por el criterio de Cauchy:

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

y la completitud de $\R$ (la primitiva tiene la propiedad de Cauchy). En detalle: sean $F(x) = \int_a^x f$ y $G(x) = \int_a^x \abs f$ . Si $\int^b\abs f$ converge, $G$ tiene límite en $b^-$ , de modo que para todo $\varepsilon > 0$ existe $c < b$ con $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ siempre que $c \leq x \leq y < b$ ; la fórmula anterior transfiere esa propiedad de Cauchy a $F$ . Para cualquier sucesión $x_n \to b^-$ , los valores $F(x_n)$ forman entonces una sucesión de Cauchy de reales, convergente por completitud, e intercalar dos sucesiones así muestra que el límite es el mismo para todas: $F$ tiene límite en $b^-$ .

Ejemplos

Ejemplo 9.3 (Dos calentamientos, hasta el final)

(a) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : el integrando explota en $0^+$ , pero allí $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ (los logaritmos pierden frente a las potencias) y $\int_0 t^{-1/2}$ converge: convergencia absoluta. El valor, integrando por partes sobre $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(b) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : hay problemas en ambos extremos, así que se separa en $1$ . Cerca de $0$ : $\abs{\ln t}$ es integrable como en (a); cerca de $\infty$ : $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : absolutamente convergente. La sustitución $t = \frac1u$ envía $\intoo{0}{1}$ sobre $\intoo{1}{\infty}$ y

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

las dos mitades se cancelan y la integral vale $0$ . Moraleja: la simetría bajo $t \mapsto \frac1t$ vale por una página de cálculo; el mismo truco ya movía el Ejercicio 9.3.

Ejemplo 9.4 (Un valor, tres integrales)

Estudiemos $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . En $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , de modo que el integrando se extiende continuamente con el valor $\frac12$ : no hay singularidad alguna. En $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : convergencia absoluta (Teorema 9.2). Valor: integremos por partes sobre $\intcc{\varepsilon}{M}$ con $u = 1 - \cos t$ y $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

El corchete se anula en ambos extremos ( $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; numerador acotado en $M$ ) y la integral tiende al valor de Dirichlet $\frac\pi2$ (Ejercicio 9.10): $I = \frac\pi2$ . Moraleja: con $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ y $u = \frac t2$ ,

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

los tres clásicos $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (Ejercicio 9.11) e $I$ comparten el valor $\frac\pi2$ , que se pasan unos a otros por partes y por sustitución; y solo el primero es semiconvergente: la integración por partes cambió la convergencia absoluta por un integrando más sencillo.

Ejemplo 9.5 (Una integral semiconvergente)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ converge: integrando por partes,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

donde el corchete tiene límite y la última integral converge absolutamente ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). Pero no absolutamente: de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ ,

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{convergente}} ,

donde la última integral converge por la misma integración por partes de antes (con $\sin 2t$ en el corchete): una pieza divergente menos una convergente diverge. Así pues, $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ converge sin converger absolutamente: el análogo integral de la serie alternada, con la integración por partes en el papel del criterio de las alternadas.

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Ejemplos

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