Wat is oneigenlijke integraal? — Wiskunde

Definitie 9.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 9 — Integratie

Zij $f$ stuksgewijs continu op $\intco{a}{b}$ ( $b \in \R$ of $+\infty$ ). De integraal convergeert wanneer $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ bestaat; men schrijft dan $\int_a^b f$ voor de limiet. (Evenzo op $\intoc{a}{b}$ , en op $\intoo{a}{b}$ door in een inwendig punt te splitsen — de keuze doet er dankzij Chasles niet toe.) De integraal convergeert absoluut wanneer $\int_a^b \abs f$ convergeert; absolute convergentie impliceert convergentie, via het cauchycriterium:

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

en de volledigheid van $\R$ (de primitieve heeft de cauchy-eigenschap). In detail: zij $F(x) = \int_a^x f$ en $G(x) = \int_a^x \abs f$ . Convergeert $\int^b\abs f$ , dan heeft $G$ een limiet in $b^-$ , dus is er bij elke $\varepsilon > 0$ een $c < b$ met $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ zodra $c \leq x \leq y < b$ ; de formule hierboven draagt die cauchy-eigenschap over op $F$ . Voor elke rij $x_n \to b^-$ vormen de waarden $F(x_n)$ dan een cauchyrij reële getallen, convergent wegens de volledigheid, en het vervlechten van twee zulke rijen laat zien dat de limiet voor alle rijen dezelfde is: $F$ heeft dus een limiet in $b^-$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 9.3 (Twee opwarmers, tot het eind uitgewerkt)

(a) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : de integrand explodeert in $0^+$ , maar daar is $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ (logaritmen verliezen van machten) en $\int_0 t^{-1/2}$ convergeert: dus absolute convergentie. De waarde, met partiële integratie op $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(b) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : problemen aan beide uiteinden, dus splits bij $1$ . Bij $0$ is $\abs{\ln t}$ integreerbaar als in (a); bij $\infty$ is $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : dus absoluut convergent. De substitutie $t = \frac1u$ beeldt $\intoo{0}{1}$ af op $\intoo{1}{\infty}$ en

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

de twee helften heffen elkaar op, en de integraal is $0$ . Het inzicht om te onthouden: de symmetrie onder $t \mapsto \frac1t$ is een bladzijde rekenwerk waard — dezelfde truc dreef al Oefening 9.3 aan.

Voorbeeld 9.4 (Eén waarde, drie integralen)

Bestudeer $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . Bij $0$ is $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , dus laat de integrand zich continu voortzetten met de waarde $\frac12$ — helemaal geen singulariteit. Bij $\infty$ is $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : absolute convergentie (Stelling 9.2). De waarde: integreer partieel op $\intcc{\varepsilon}{M}$ met $u = 1 - \cos t$ en $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

De haak verdwijnt aan beide uiteinden ( $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; begrensde teller bij $M$ ), en de integraal gaat naar de waarde van Dirichlet $\frac\pi2$ (Oefening 9.10): dus $I = \frac\pi2$ . Het inzicht om te onthouden: met $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ en $u = \frac t2$ is

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

de drie klassiekers $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (Oefening 9.11) en $I$ delen alle de waarde $\frac\pi2$ , doorgegeven met partiële integratie en substitutie — en alleen de eerste is halfconvergent: de partiële integratie ruilde de absolute convergentie in voor een eenvoudiger integrand.

Voorbeeld 9.5 (Een halfconvergente integraal)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ convergeert: integreer partieel,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

waarbij de haak een limiet heeft en de laatste integraal absoluut convergeert ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). Maar niet absoluut: uit $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ volgt

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{convergent}} ,

waarbij de laatste integraal convergeert dankzij dezelfde partiële integratie als hierboven (met $\sin 2t$ in de haak): een divergent stuk min een convergent stuk divergeert. Dus convergeert $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ zonder absoluut te convergeren — de integraaltegenhanger van de alternerende reeks, waarbij de partiële integratie de rol van de alternerende test speelt.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen