Qu'est-ce que « intégrale impropre » ? — Mathématiques

Définition 9.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 9 — Intégration

Soit $f$ continue par morceaux sur $\intco{a}{b}$ ( $b \in \R$ ou $+\infty$ ). L’intégrale converge lorsque $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ existe ; on écrit alors $\int_a^b f$ pour la limite. (De même sur $\intoc{a}{b}$ , et sur $\intoo{a}{b}$ en coupant en un point intérieur — le choix n’importe pas, par la relation de Chasles.) L’intégrale converge absolument lorsque $\int_a^b \abs f$ converge ; la convergence absolue implique la convergence, par le critère de Cauchy :

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

et la complétude de $\R$ (la primitive possède la propriété de Cauchy). En détail : posons $F(x) = \int_a^x f$ et $G(x) = \int_a^x \abs f$ . Si $\int^b\abs f$ converge, $G$ admet une limite en $b^-$ , donc pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $c < b$ tel que $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ dès que $c \leq x \leq y < b$ ; la formule ci-dessus transfère cette propriété de Cauchy à $F$ . Pour toute suite $x_n \to b^-$ les valeurs $F(x_n)$ forment alors une suite de Cauchy de réels, convergente par complétude, et entrelacer deux telles suites montre que la limite est la même pour toutes : $F$ admet une limite en $b^-$ .

Exemples

Exemple 9.3 (Deux échauffements, menés jusqu’au bout)

(a) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : l’intégrande explose en $0^+$ , mais $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ au voisinage de $0$ (les logarithmes perdent face aux puissances), et $\int_0 t^{-1/2}$ converge : convergence absolue. La valeur, par parties sur $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(b) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : problème aux deux bornes, donc on coupe en $1$ . Au voisinage de $0$ : $\abs{\ln t}$ intégrable comme en (a) ; au voisinage de $\infty$ : $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : absolument convergente. Le changement de variable $t = \frac1u$ envoie $\intoo{0}{1}$ sur $\intoo{1}{\infty}$ et

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

les deux moitiés se compensent, et l’intégrale vaut $0$ . Éclairage final : la symétrie sous $t \mapsto \frac1t$ vaut une page de calcul — le même tour alimentait déjà l’Exercice 9.3.

Exemple 9.4 (Une valeur, trois intégrales)

Étudions $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . En $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , donc l’intégrande se prolonge par continuité par la valeur $\frac12$ — aucune singularité. En $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : convergence absolue (Théorème 9.2). Valeur : intégrons par parties sur $\intcc{\varepsilon}{M}$ avec $u = 1 - \cos t$ , $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

Le crochet s’annule aux deux bornes ( $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; numérateur borné en $M$ ), et l’intégrale tend vers la valeur de Dirichlet $\frac\pi2$ (Exercice 9.10) : $I = \frac\pi2$ . Éclairage final : avec $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ et $u = \frac t2$ ,

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

les trois classiques $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (Exercice 9.11) et $I$ partagent tous la valeur $\frac\pi2$ , transmise de l’une à l’autre par parties et par changement de variable — et seule la première est semi-convergente : l’intégration par parties a échangé la convergence absolue contre un intégrande plus simple.

Exemple 9.5 (Une intégrale semi-convergente)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ converge : intégrons par parties,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

où le crochet a une limite et la dernière intégrale converge absolument ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). Mais pas absolument : de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ ,

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{convergente}} ,

où la dernière intégrale converge par la même intégration par parties que ci-dessus (avec $\sin 2t$ dans le crochet) : une partie divergente moins une partie convergente diverge. Ainsi $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ converge sans converger absolument — l’analogue intégral des séries alternées, l’intégration par parties jouant le rôle du critère spécial des séries alternées.

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Exemples

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