Apa itu integral tak wajar? — Matematika

Definisi 9.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 9 — Pengintegralan

Misalkan $f$ kontinu sepotong-sepotong pada $\intco{a}{b}$ ( $b \in \R$ atau $+\infty$ ). Integralnya disebut konvergen apabila $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ ada; limitnya lalu ditulis $\int_a^b f$ . (Serupa itu pada $\intoc{a}{b}$ , dan pada $\intoo{a}{b}$ dengan memecahnya di sebuah titik dalam — pilihan titiknya tak berpengaruh, menurut Chasles.) Integralnya disebut konvergen mutlak apabila $\int_a^b \abs f$ konvergen; dan kekonvergenan mutlak mengakibatkan kekonvergenan, lewat kriteria Cauchy:

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

beserta kelengkapan $\R$ (sebab antiturunannya punya sifat Cauchy). Secara rinci: misalkan $F(x) = \int_a^x f$ dan $G(x) = \int_a^x \abs f$ . Jika $\int^b\abs f$ konvergen, maka $G$ punya limit di $b^-$ , jadi untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $c < b$ dengan $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ setiap kali $c \leq x \leq y < b$ ; lalu ungkapan di atas memindahkan sifat Cauchy itu ke $F$ . Untuk sembarang barisan $x_n \to b^-$ , nilai $F(x_n)$ lalu membentuk barisan Cauchy berisi bilangan real, yang konvergen berkat kelengkapan, dan menyelang-nyelingkan dua barisan semacam itu menunjukkan limitnya sama untuk semuanya: jadi $F$ punya limit di $b^-$ .

Contoh

Contoh 9.3 (Dua pemanasan, dikerjakan sampai tuntas)

(a) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : integrannya meledak di $0^+$ , tetapi $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ di sana (sebab logaritma kalah oleh pangkat), dan $\int_0 t^{-1/2}$ konvergen: jadi konvergen mutlak. Nilainya, lewat pengintegralan parsial pada $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(b) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : masalahnya ada di kedua ujungnya, jadi pecahlah di $1$ . Di dekat $0$ : $\abs{\ln t}$ terintegralkan seperti pada (a); di dekat $\infty$ : $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ , jadi konvergen mutlak. Penyulihan $t = \frac1u$ memetakan $\intoo{0}{1}$ pada $\intoo{1}{\infty}$ dan

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

jadi kedua paruhnya saling coret, dan integralnya bernilai $0$ . Pelajaran penutupnya: kesetangkupan terhadap $t \mapsto \frac1t$ berharga satu halaman perhitungan — dan siasat yang sama sudah menggerakkan Latihan 9.3.

Contoh 9.4 (Satu nilai, tiga integral)

Telaahlah $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . Di $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , jadi integrannya diperluas secara kontinu oleh nilai $\frac12$ — sama sekali tak ada kesingularan. Di $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ , jadi konvergen mutlak (Teorema 9.2). Nilainya: integralkan secara parsial pada $\intcc{\varepsilon}{M}$ dengan $u = 1 - \cos t$ dan $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

Kurungnya nol di kedua ujungnya (sebab $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ , dan pembilangnya terbatas di $M$ ), sedangkan integralnya menuju nilai Dirichlet $\frac\pi2$ (Latihan 9.10): jadi $I = \frac\pi2$ . Pelajaran penutupnya: dengan $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ dan $u = \frac t2$ ,

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

ketiga klasiknya, yakni $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (Latihan 9.11) dan $I$ , semuanya bernilai $\frac\pi2$ , yang diedarkan lewat pengintegralan parsial dan penyulihan — dan hanya yang pertama yang semi-konvergen: sebab pengintegralan parsialnya menukar kekonvergenan mutlaknya dengan integran yang lebih sederhana.

Contoh 9.5 (Sebuah integral semi-konvergen)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ konvergen: integralkan secara parsial,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

dengan kurungnya berlimit dan integral terakhirnya konvergen mutlak (sebab $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). Namun tidak mutlak: sebab dari $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ ,

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{konvergen}} ,

dengan integral terakhirnya konvergen lewat pengintegralan parsial yang sama seperti di atas (dengan $\sin 2t$ di kurungnya): jadi potongan divergen dikurangi potongan konvergen bersifat divergen. Karenanya $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ konvergen tanpa konvergen mutlak — yakni padanan integral bagi deret berselang-seling, dengan pengintegralan parsial berperan sebagai uji berselang-selingnya.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait