अनुचित समाकल क्या है? — गणित

परिभाषा 9.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 9 — समाकलन

मान लीजिए $f$ $\intco{a}{b}$ पर खंडशः संतत है ( $b \in \R$ अथवा $+\infty$ )। समाकल तब अभिसरित होता है जब $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ विद्यमान हो; और तब उस सीमा को $\int_a^b f$ लिखा जाता है। (इसी प्रकार $\intoc{a}{b}$ पर, और $\intoo{a}{b}$ पर किसी अभ्यंतरीय बिंदु पर बाँटकर — शाल के कारण चुनाव से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।) समाकल निरपेक्ष रूप से अभिसरित तब होता है जब $\int_a^b \abs f$ अभिसरित हो; और निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण निकलता है, कोशी कसौटी

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

तथा $\R$ की पूर्णता से (प्रतिअवकलज में कोशी गुणधर्म होता है)। विस्तार से: मान लीजिए $F(x) = \int_a^x f$ और $G(x) = \int_a^x \abs f$ । यदि $\int^b\abs f$ अभिसरित हो, तो $b^-$ पर $G$ की कोई सीमा है, अतः प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $c < b$ है कि $c \leq x \leq y < b$ होने पर $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ ; और प्रदर्शन इस कोशी गुणधर्म को $F$ पर स्थानांतरित कर देता है। तब किसी भी अनुक्रम $x_n \to b^-$ के लिए मान $F(x_n)$ वास्तविक संख्याओं का कोशी अनुक्रम बनाते हैं, जो पूर्णता से अभिसारी है; और दो ऐसे अनुक्रमों को गूँथकर देखने पर सीमा सब के लिए एक ही निकलती है: अतः $b^-$ पर $F$ की सीमा है।

उदाहरण

उदाहरण 9.3 (दो अभ्यास, अंत तक किए हुए)

(क) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : समाकल्य $0^+$ पर फट जाता है, परंतु वहाँ $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ (लघुगणक घातों से हार जाते हैं), और $\int_0 t^{-1/2}$ अभिसरित होता है: अतः निरपेक्ष अभिसरण। और मान, $\intcc{\varepsilon}{1}$ पर खंडशः समाकलन से:

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(ख) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : दोनों सिरों पर परेशानी है, अतः $1$ पर बाँटिए। $0$ के पास: $\abs{\ln t}$ , जो (क) की तरह समाकलनीय है; और $\infty$ के पास: $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : अर्थात् निरपेक्ष रूप से अभिसारी। प्रतिस्थापन $t = \frac1u$ $\intoo{0}{1}$ को $\intoo{1}{\infty}$ पर भेज देता है और

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

अतः दोनों आधे कट जाते हैं और समाकल $0$ है। समापन दृष्टि: $t \mapsto \frac1t$ के अंतर्गत सममिति एक पन्ने भर के परिकलन के बराबर है — यही युक्ति अभ्यास 9.3 को पहले ही चला चुकी है।

उदाहरण 9.4 (एक मान, तीन समाकल)

$I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ का अध्ययन कीजिए। $0$ पर: $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , अतः समाकल्य मान $\frac12$ से संततता के साथ आगे बढ़ जाता है — वहाँ कोई विचित्रता है ही नहीं। $\infty$ पर: $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : अर्थात् निरपेक्ष अभिसरण (प्रमेय 9.2)। मान: $u = 1 - \cos t$ , $v' = t^{-2}$ के साथ $\intcc{\varepsilon}{M}$ पर खंडशः समाकलन कीजिए:

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

कोष्ठक दोनों सिरों पर लुप्त हो जाता है ( $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; $M$ पर अंश परिबद्ध), और समाकल डिरिक्ले मान $\frac\pi2$ की ओर जाता है (अभ्यास 9.10): अतः $I = \frac\pi2$ । समापन दृष्टि: $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ और $u = \frac t2$ के साथ

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

अर्थात् तीनों क्लासिक $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (अभ्यास 9.11) और $I$ सबका मान $\frac\pi2$ ही है, जो खंडशः समाकलन और प्रतिस्थापन के द्वारा एक-दूसरे को सौंपा जाता रहता है — और उनमें से केवल पहला अर्ध-अभिसारी है: खंडशः समाकलन ने सरल समाकल्य के बदले निरपेक्ष अभिसरण दे दिया।

उदाहरण 9.5 (एक अर्ध-अभिसारी समाकल)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ अभिसरित होता है: खंडशः समाकलन कीजिए,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

जहाँ कोष्ठक की सीमा है और अंतिम समाकल निरपेक्ष रूप से अभिसरित होता है ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ )। परंतु निरपेक्ष रूप से नहीं: $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ से,

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{अभिसारी}} ,

जहाँ अंतिम समाकल ऊपर वाले उसी खंडशः समाकलन से अभिसरित होता है (कोष्ठक में $\sin 2t$ के साथ): अर्थात् अपसारी टुकड़े में से अभिसारी घटाने पर अपसरण। अतः $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ निरपेक्ष रूप से अभिसरित हुए बिना अभिसरित होता है — अर्थात् एकांतर श्रेणी का समाकल-रूप, जिसमें एकांतर जाँच की भूमिका खंडशः समाकलन निभाता है।

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उदाहरण

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