ما معنى نهاية متتالية؟

مثال 11.2 (برهان $\varepsilon$–$N$، مكتوبًا مرة واحدة)

الادعاء: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. اعزل الخطأ أولًا:

ثم سيطر عليه بمقدار بسيط: من أجل $n \geq 2$، $2n^2 - 3 \geq n^2$، ومنه فالخطأ هو $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. ومن أجل $\varepsilon > 0$، تعطي خاصية أرخميدس $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$؛ ومن أجل $n \geq N$ يكون الخطأ $\leq \varepsilon$. وانتهى. والفكرة النافذة: لبرهان $\varepsilon$–$N$ ثلاث حركات بالضبط — احسب الخطأ، وحُدّه بمقدار أوليّ متناقص، وحلّ من أجل العتبة — وبعد مبرهنات هذا الفصل (العمليات والحصر) لا يكاد المرء يكتب مثل هذا البرهان مرة أخرى: إذ تعلّب المبرهنات الحركات الثلاث مرة واحدة وإلى الأبد.

مثال 11.3 (التباعد إلى اللانهاية، مصادَقًا عليه)

الادعاء: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. عمّل الحد المهيمن: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ من أجل $n \geq 200$. ومن أجل $M$ معطى، خذ $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$: فمن أجل $n \geq N$، $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. وعادتان معروضتان هنا: تعميل الحد المهيمن يحوّل تنافسًا ($n^2$ ضد $-100n$) إلى سلّم وحيد مضروب في عامل يؤول إلى $1$؛ وقد تكون العتبة هائلة ($u_{100} = 0$، بل المتتالية سالبة قبل $n = 100$) — فالتباعد إلى $+\infty$ عبارة عن الذيل، لا تبالي بأيّ قدر منته من سوء السلوك.

مثال 11.6 (العمليات مع حيلة جبرية واحدة)

احسب $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. يؤول الجزآن كلٌّ على حدة إلى $+\infty$: ولا تقول مبرهنة العمليات شيئًا عن فرقهما (وهو شكل غير محدَّد). اضرب في المرافق:

والآن يتقارب كل شيء: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$، لأن $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (بالمرافق مرة أخرى، ثم بالحصر مع $h = \frac1n$)؛ وعندئذ تعطي مبرهنة العمليات النهاية $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. والفكرة النافذة: ليست مبرهنة العمليات حاسبةً لكل النهايات — فالأشكال غير المحدَّدة ($\infty - \infty$ و $\frac00$ و $0 \times \infty$ و $1^\infty$) يجب أولًا أن تُحوَّل بالجبر (المرافقات، وتعميل الحد المهيمن) حتى يتقارب كل جزء؛ والآلة المنهجية للحالات العنيدة هي النشر المقارب في الفصل 16.