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गणित · शब्दावली

अनुक्रम की सीमा क्या है?

परिभाषा 11.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 11 — अनुक्रम

वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम (un)(u_n) ℓ∈R\ell \in \R की ओर अभिसरित तब होता है जब

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geq N, \qquad \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon .

लिखा जाता है un→ℓu_n \to \ell या lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ell। जो अनुक्रम (किसी भी वास्तविक संख्या की ओर) अभिसरित नहीं होता वह अपसरित होता है। +∞+\infty की ओर अपसरण: ∀M, ∃N, ∀n≥N, un≥M\forall M,\ \exists N,\ \forall n \geq N,\ u_n \geq M (इसी प्रकार −∞-\infty)।

उदाहरण

उदाहरण 11.2 (एक ε\varepsilon–NN उपपत्ति, एक बार पूरी लिखी हुई)

दावा: un=n2+12n2−3→12u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12। पहले त्रुटि अलग कीजिए:

∣un−12∣=∣2(n2+1)−(2n2−3)2(2n2−3)∣=52 ∣2n2−3∣=52 (2n2−3)(n≥2).\Bigl| u_n - \frac12 \Bigr| = \Bigl| \frac{2(n^2 + 1) - (2n^2 - 3)}{2(2n^2 - 3)} \Bigr| = \frac{5}{2\,\abs{2n^2 - 3}} = \frac{5}{2\,(2n^2 - 3)} \quad (n \geq 2).

फिर उसे किसी सरल राशि से दबाइए: n≥2n \geq 2 के लिए 2n2−3≥n22n^2 - 3 \geq n^2, अतः त्रुटि ≤52n2≤52n\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n} है। ε>0\varepsilon > 0 दिया हो, तो आर्किमिडीज़ गुणधर्म N≥max⁡(2,52ε)N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr) देता है; n≥Nn \geq N के लिए त्रुटि ≤ε\leq \varepsilon है। काम पूरा। समापन का सार: ε\varepsilon–NN उपपत्ति में ठीक तीन चालें होती हैं — त्रुटि संगणित कीजिए, उसे किसी ह्रासमान प्रारंभिक व्यंजक से परिबद्ध कीजिए, और देहली के लिए हल कीजिए — और इस अध्याय की प्रमेयों (संक्रियाएँ, दबाव) के बाद ऐसी उपपत्ति लगभग कभी फिर नहीं लिखनी पड़ती: प्रमेय उन तीनों चालों को एक बार और सदा के लिए बाँध देती हैं।

उदाहरण 11.3 (अनंत की ओर अपसरण, प्रमाणित)

दावा: un=n2−100n→+∞u_n = n^2 - 100n \to +\infty। प्रभावी पद का गुणनखंडन कीजिए: n≥200n \geq 200 के लिए un=n2(1−100n)≥n22u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}। MM दिया हो, तो N=max⁡(200,⌈2M⌉)N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr) लीजिए: n≥Nn \geq N के लिए un≥n22≥Mu_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M। दो आदतें यहाँ दिखाई देती हैं: प्रभावी-पद गुणनखंडन एक प्रतियोगिता (n2n^2 बनाम −100n-100n) को एक ही पैमाने और 11 की ओर जाते किसी गुणक में बदल देता है; और देहली बहुत बड़ी हो सकती है (u100=0u_{100} = 0, और अनुक्रम n=100n = 100 से पहले तो ऋणात्मक तक है) — +∞+\infty की ओर अपसरण पूँछ के विषय में कथन है, और किसी भी परिमित मात्रा की बदमाशी से उदासीन।

उदाहरण 11.6 (संक्रियाएँ और एक बीजीय युक्ति)

lim⁡ (n2+n−n)\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr) संगणित कीजिए। दोनों टुकड़े अलग-अलग +∞+\infty की ओर जाते हैं: संक्रिया-प्रमेय उनके अंतर के विषय में कुछ नहीं कहती (एक अनिश्चित रूप)। संयुग्मी से गुणा कीजिए:

n2+n−n=(n2+n)−n2n2+n+n=nn2+n+n=11+1n+1.\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} .

अब सब कुछ अभिसरित होता है: 1+1n→1\sqrt{1 + \frac1n} \to 1, क्योंकि 0≤1+h−1=h1+h+1≤h0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h (फिर संयुग्मी, फिर h=1nh = \frac1n के साथ दबाव); और तब संक्रिया-प्रमेय सीमा 11+1=12\frac{1}{1 + 1} = \frac12 दे देती है। समापन का सार: संक्रिया-प्रमेय सभी सीमाओं का कैलकुलेटर नहीं है — अनिश्चित रूपों (∞−∞\infty - \infty, 00\frac00, 0×∞0 \times \infty, 1∞1^\infty) को पहले बीजगणित (संयुग्मी, प्रभावी पद का गुणनखंडन) से रूपांतरित करना पड़ता है जब तक हर टुकड़ा अभिसरित न हो जाए; और ज़िद्दी स्थितियों की व्यवस्थित मशीन अध्याय 16 का अनंतस्पर्शी प्रसार है।

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