Apa itu Limit sebuah barisan?

Contoh 11.2 (Sebuah bukti $\varepsilon$–$N$, yang ditulis lengkap sekali)

Klaimnya: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. Pertama-tama kucilkan galatnya:

Lalu dominasikan ia dengan sesuatu yang sederhana: untuk $n \geq 2$, $2n^2 - 3 \geq n^2$, sehingga galatnya $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. Diberikan $\varepsilon > 0$, sifat Archimedes memasok $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$; lalu untuk $n \geq N$ galatnya $\leq \varepsilon$. Selesai. Inti gagasan penutupnya: bahwa sebuah bukti $\varepsilon$–$N$ mempunyai tepat tiga gerakan — menghitung galatnya, membatasinya dengan ungkapan elementer yang menurun, lalu memecahkan ambangnya — dan setelah teorema pada bab ini (operasi, apitan) orang hampir tak pernah menulis bukti semacam itu lagi: karena teoremanya mengemas ketiga gerakan itu sekali untuk selamanya.

Contoh 11.3 (Kedivergenan ke tak hingga, yang bersertifikat)

Klaimnya: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. Faktorkan suku dominannya: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ untuk $n \geq 200$. Diberikan $M$, ambillah $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$: maka untuk $n \geq N$, $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. Dua kebiasaan terpampang di sini: pemfaktoran suku dominan mengubah sebuah persaingan ($n^2$ melawan $-100n$) menjadi satu skala dikalikan faktor yang menuju $1$; sedangkan ambangnya boleh saja raksasa (karena $u_{100} = 0$, dan barisannya bahkan negatif sebelum $n = 100$) — jadi kedivergenan ke $+\infty$ adalah pernyataan tentang ekornya, yang acuh tak acuh terhadap sebanyak apa pun kelakuan buruk yang berhingga.

Contoh 11.6 (Operasi ditambah satu muslihat aljabar)

Hitunglah $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. Kedua bagiannya secara terpisah menuju $+\infty$: sehingga teorema operasinya tak mengatakan apa pun tentang selisihnya (yaitu sebuah bentuk tak tentu). Kalikanlah dengan sekawannya:

Sekarang semuanya konvergen: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, karena $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (dengan sekawan lagi, lalu apitan dengan $h = \frac1n$); lalu teorema operasinya memberikan limit $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. Inti gagasan penutupnya: bahwa teorema operasi bukanlah kalkulator bagi semua limit — karena bentuk tak tentu ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) harus lebih dulu diubah lewat aljabar (sekawan, pemfaktoran suku dominan) sampai setiap bagiannya konvergen; adapun mesin sistematis bagi kasus yang membandel adalah ekspansi asimtotik pada Bab 16.