O que é Limite de uma sequência? — Matemática

Definição 11.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 11 — Sequências

Uma sequência $(u_n)$ de reais converge para $\ell \in \R$ quando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geq N, \qquad \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon .

Escreve-se $u_n \to \ell$ ou $\lim u_n = \ell$ . Uma sequência que não converge (para nenhum real) diverge. Divergência para $+\infty$ : $\forall M,\ \exists N,\ \forall n \geq N,\ u_n \geq M$ (analogamente para $-\infty$ ).

Exemplos

Exemplo 11.2 (Uma demonstração $\varepsilon$ – $N$ , escrita por extenso uma vez)

Afirmação: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$ . Primeiro isole o erro:

\Bigl| u_n - \frac12 \Bigr| = \Bigl| \frac{2(n^2 + 1) - (2n^2 - 3)}{2(2n^2 - 3)} \Bigr| = \frac{5}{2\,\abs{2n^2 - 3}} = \frac{5}{2\,(2n^2 - 3)} \quad (n \geq 2).

Depois domine-o por algo simples: para $n \geq 2$ , $2n^2 - 3 \geq n^2$ , de modo que o erro é $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$ . Dado $\varepsilon > 0$ , a propriedade arquimediana fornece $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$ ; para $n \geq N$ o erro é $\leq \varepsilon$ . Pronto. A ideia de fechamento: uma demonstração $\varepsilon$ – $N$ tem exatamente três movimentos — calcular o erro, limitá-lo por uma expressão elementar decrescente e resolver para o limiar — e, depois dos teoremas deste capítulo (operações, confronto), quase nunca mais se escreve uma demonstração dessas: os teoremas empacotam os três movimentos de uma vez por todas.

Exemplo 11.3 (Divergência para o infinito, certificada)

Afirmação: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$ . Fatore o termo dominante: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ para $n \geq 200$ . Dado $M$ , tome $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$ : para $n \geq N$ , $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$ . Dois hábitos estão à mostra: a fatoração pelo termo dominante converte uma competição ( $n^2$ contra $-100n$ ) numa única escala vezes um fator que tende a $1$ ; e o limiar pode ser enorme ( $u_{100} = 0$ , e a sequência é até negativa antes de $n = 100$ ) — a divergência para $+\infty$ é uma afirmação sobre a cauda, indiferente a qualquer quantidade finita de mau comportamento.

Exemplo 11.6 (Operações mais um truque algébrico)

Calcule $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$ . As duas parcelas tendem separadamente a $+\infty$ : o teorema das operações nada diz sobre a diferença delas (uma forma indeterminada). Multiplique pelo conjugado:

\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} .

Agora tudo converge: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$ , pois $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (conjugado de novo, e depois confronto com $h = \frac1n$ ); então o teorema das operações dá o limite $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$ . A ideia de fechamento: o teorema das operações não é uma calculadora de todos os limites — as formas indeterminadas ( $\infty - \infty$ , $\frac00$ , $0 \times \infty$ , $1^\infty$ ) devem antes ser transformadas pela álgebra (conjugados, fatoração do termo dominante) até que cada pedaço convirja; a máquina sistemática para os casos resistentes é a expansão assintótica do Capítulo 16.

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