Wat is Limiet van een rij?

Voorbeeld 11.2 (Een $\varepsilon$–$N$-bewijs, één keer uitgeschreven)

Bewering: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. Isoleer eerst de fout:

Overheers haar dan met iets eenvoudigs: voor $n \geq 2$ is $2n^2 - 3 \geq n^2$, dus is de fout $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. Bij gegeven $\varepsilon > 0$ levert de archimedische eigenschap een $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$; voor $n \geq N$ is de fout $\leq \varepsilon$. Klaar. Het inzicht tot slot: een $\varepsilon$–$N$-bewijs bestaat uit precies drie zetten — bereken de fout, schat haar af met een dalende elementaire uitdrukking, en los de drempel op — en na de stellingen van dit hoofdstuk (bewerkingen, insluiting) schrijf je zo’n bewijs vrijwel nooit meer: de stellingen verpakken die drie zetten eens en voor altijd.

Voorbeeld 11.3 (Divergentie naar oneindig, gewaarborgd)

Bewering: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. Zonder de dominante term af: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ voor $n \geq 200$. Bij gegeven $M$ neem je $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$: voor $n \geq N$ is $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. Twee gewoontes zijn hier zichtbaar: de dominante term afzonderen zet een wedstrijd ($n^2$ tegen $-100n$) om in één schaal maal een factor die naar $1$ gaat; en de drempel mag reusachtig zijn ($u_{100} = 0$, de rij is vóór $n = 100$ zelfs negatief) — divergentie naar $+\infty$ is een uitspraak over de staart, onverschillig voor eender welke eindige hoeveelheid wangedrag.

Voorbeeld 11.6 (Bewerkingen plus één algebraïsche truc)

Bereken $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. De twee stukken gaan afzonderlijk naar $+\infty$: de stelling over de bewerkingen zegt niets over hun verschil (een onbepaalde vorm). Vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking:

Nu convergeert alles: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, want $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (opnieuw de toegevoegde uitdrukking, dan insluiten met $h = \frac1n$); de stelling over de bewerkingen geeft dan de limiet $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. Het inzicht tot slot: de stelling over de bewerkingen is geen rekenmachine voor alle limieten — onbepaalde vormen ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) moeten eerst met algebra omgevormd worden (toegevoegde uitdrukkingen, de dominante term afzonderen) tot elk stuk convergeert; de systematische machine voor hardnekkige gevallen is de asymptotische ontwikkeling van Hoofdstuk 16.