¿Qué es Límite de una sucesión?

Ejemplo 11.2 (Una demostración $\varepsilon$–$N$, escrita una vez)

Afirmación: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. Aíslese primero el error:

Domínese después con algo simple: para $n \geq 2$, $2n^2 - 3 \geq n^2$, luego el error es $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. Dado $\varepsilon > 0$, la propiedad arquimediana proporciona $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$; para $n \geq N$ el error es $\leq \varepsilon$. Hecho. La idea de cierre: una demostración $\varepsilon$–$N$ tiene exactamente tres movimientos — calcular el error, acotarlo por una expresión elemental decreciente, despejar el umbral — y, tras los teoremas de este capítulo (operaciones, emparedado), casi nunca se vuelve a escribir una demostración así: los teoremas empaquetan los tres movimientos de una vez por todas.

Ejemplo 11.3 (Divergencia a infinito, certificada)

Afirmación: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. Factorícese el término dominante: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ para $n \geq 200$. Dado $M$, tómese $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$: para $n \geq N$, $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. Se ven dos hábitos: factorizar el término dominante convierte una competencia ($n^2$ contra $-100n$) en una sola escala por un factor que tiende a $1$; y el umbral puede ser enorme ($u_{100} = 0$, y la sucesión es incluso negativa antes de $n = 100$) — la divergencia a $+\infty$ es un enunciado sobre la cola, indiferente a cualquier mal comportamiento finito.

Ejemplo 11.6 (Operaciones más un truco algebraico)

Calcúlese $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. Las dos piezas por separado tienden a $+\infty$: el teorema de las operaciones no dice nada de su diferencia (una forma indeterminada). Multiplíquese por el conjugado:

Ahora todo converge: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, porque $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (conjugado otra vez y emparedado con $h = \frac1n$); y entonces el teorema de las operaciones da el límite $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. La idea de cierre: el teorema de las operaciones no es una calculadora para todos los límites — las formas indeterminadas ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) hay que transformarlas antes con álgebra (conjugados, factorizar el término dominante) hasta que cada pieza converja; la máquina sistemática para los casos resistentes es el desarrollo asintótico del Capítulo 16.