Qu'est-ce que « Limite d’une suite » ?

Exemple 11.2 (Une démonstration en $\varepsilon$–$N$, rédigée une fois)

Affirmation : $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. Isolons d’abord l’erreur :

Puis dominons-la par quelque chose de simple : pour $n \geq 2$, $2n^2 - 3 \geq n^2$, donc l’erreur est $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. Étant donné $\varepsilon > 0$, la propriété d’Archimède fournit $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$ ; pour $n \geq N$ l’erreur est $\leq \varepsilon$. C’est fini. L’idée à retenir : une démonstration en $\varepsilon$–$N$ comporte exactement trois gestes — calculer l’erreur, la majorer par une expression élémentaire décroissante, résoudre en le seuil — et après les théorèmes de ce chapitre (opérations, encadrement) on n’écrit pratiquement plus jamais une telle démonstration : les théorèmes emballent les trois gestes une fois pour toutes.

Exemple 11.3 (Divergence vers l’infini, certifiée)

Affirmation : $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. Factorisons le terme dominant : $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ pour $n \geq 200$. Étant donné $M$, prenons $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$ : pour $n \geq N$, $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. Deux habitudes sont ici à l’œuvre : la factorisation par le terme dominant transforme une compétition ($n^2$ contre $-100n$) en une seule échelle multipliée par un facteur tendant vers $1$ ; et le seuil peut être énorme ($u_{100} = 0$, la suite est même négative avant $n = 100$) — la divergence vers $+\infty$ est une assertion sur la queue, indifférente à toute quantité finie de mauvaise conduite.

Exemple 11.6 (Les opérations, plus une astuce algébrique)

Calculons $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. Les deux morceaux tendent séparément vers $+\infty$ : le théorème des opérations ne dit rien de leur différence (une forme indéterminée). Multiplions par la quantité conjuguée :

Maintenant tout converge : $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, car $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (conjuguée encore, puis encadrement avec $h = \frac1n$) ; le théorème des opérations donne alors la limite $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. L’idée à retenir : le théorème des opérations n’est pas une calculatrice universelle des limites — les formes indéterminées ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) doivent d’abord être transformées par l’algèbre (quantités conjuguées, factorisation du terme dominant) jusqu’à ce que chaque morceau converge ; la machine systématique pour les cas résistants est le développement limité du Chapitre 16.