ما معنى التركيبات الخطية والفضاء المولَّد؟

مثال 18.18 (اختبار أساس مرشّح من البداية إلى النهاية)

هل $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ أساس للمقدار $\R_2[X]$؟ اكتب $u_1, u_2, u_3$ لكثيرات الحدود الثلاثة. الحرية: تعطي تركيبة معدومة $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$، معاملًا معاملًا،

وبطرح الأولين، $b = c$، ثم يعطي الثالث $2b = 0$: أي $a = b = c = 0$، فهي حرة. والتوليد: بدل حلّ ثلاث جمل، لاحظ التركيبة المتناظرة

ومنه $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$؛ ثم

والوحيدات الحدّ تقع في الفضاء المولَّد، ومنه فكل شيء كذلك: ومنه فالعائلة $\mathcal{F}$ أساس. وكعلاوة، يعطي تجميع المعروضات الثلاث إحداثيات أيّ $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(وللتحقق من السلامة مع $P = X$: الإحداثيات $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$، كما وُجد أعلاه.) ودرسان: عادةً ما يخفي التناظر في العائلة تركيبةً مختصرة؛ وما إن يتوفر البُعد (الفصل 19)، يأتي نصف التوليد كله من هذا العمل بالمجّان — فثلاث متجهات حرة في فضاء بُعده $3$ تكوّن أساسًا دائمًا.

مثال 18.22 (علاقة مستترة تقلّص فضاءً مولَّدًا)

في $\mathcal{F}(\R, \R)$، ما هو $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$؟ المتطابقة $\cos^2 + \sin^2 = 1$ تركيبةٌ معدومة غير بديهية

ومنه فالعائلة مرتبطة، والفضاء المولَّد مولَّد أصلًا بالعائلة $(1, \cos^2)$ وحدها (لأن $\sin^2 = 1 - \cos^2$). وتلك العائلة الأصغر حرة: إذ يعطي $a + b\cos^2 x = 0$ من أجل كل $x$، عند $x = 0$ و $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ و $a = 0$. ومنه فالفضاء المولَّد مستوٍ داخل فضاء الدوال — وهو يحتوي كذلك $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: فالعائلات التي تبدو خطية من الدوال المثلثية تنهار روتينيًا تحت المتطابقات، ولهذا يجب البرهان على الحرية، لا افتراضها من طول القائمة.