Qu'est-ce que « Combinaisons linéaires, sous-espace engendré » ?

Exemple 18.18 (Tester une base candidate, de bout en bout)

La famille $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ est-elle une base de $\R_2[X]$ ? Notons $u_1, u_2, u_3$ les trois polynômes. Liberté : une combinaison nulle $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ donne, coefficient par coefficient,

en soustrayant les deux premières, $b = c$, puis la troisième donne $2b = 0$ : $a = b = c = 0$, la famille est libre. Génératrice : plutôt que de résoudre trois systèmes, remarquons la combinaison symétrique

d’où $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; puis

Les monômes sont dans le sous-espace engendré, donc tout y est : $\mathcal{F}$ est une base. En prime, en assemblant les trois formules on obtient les coordonnées de tout $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

(Vérification avec $P = X$ : coordonnées $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, comme trouvé plus haut.) Deux leçons : une symétrie dans la famille cache d’ordinaire une combinaison raccourci ; et une fois la dimension disponible (Chapitre 19), toute la moitié « génératrice » de ce travail sera gratuite — trois vecteurs libres d’un espace de dimension $3$ forment toujours une base.

Exemple 18.22 (Une relation cachée rétrécit un sous-espace engendré)

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$, que vaut $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ ? L’identité $\cos^2 + \sin^2 = 1$ est une combinaison nulle non triviale

la famille est liée, et le sous-espace engendré est déjà engendré par la seule famille $(1, \cos^2)$ ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Cette famille plus petite est libre : $a + b\cos^2 x = 0$ pour tout $x$ donne, en $x = 0$ et $x = \frac\pi2$ : $a + b = 0$ et $a = 0$. Le sous-espace engendré est donc un plan à l’intérieur de l’espace des fonctions — et il contient aussi $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : les familles de fonctions trigonométriques d’allure linéaire s’effondrent régulièrement sous l’effet d’identités, et c’est pourquoi la liberté doit être démontrée, jamais déduite de la longueur de la liste.