O que é Combinações lineares, espaço gerado?

Exemplo 18.18 (Testar uma candidata a base, do início ao fim)

Será $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ uma base de $\R_2[X]$? Escreva $u_1, u_2, u_3$ para os três polinômios. Liberdade: uma combinação nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ dá, coeficiente a coeficiente,

subtraindo as duas primeiras, $b = c$, e então a terceira dá $2b = 0$: $a = b = c = 0$, livre. Geradora: em vez de resolver três sistemas, note a combinação simétrica

logo $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; então

Os monômios estão no espaço gerado, logo tudo está: $\mathcal{F}$ é uma base. Como bônus, juntar as três fórmulas exibidas dá as coordenadas de qualquer $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(Verificação de coerência com $P = X$: coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, como encontrado acima.) Duas lições: a simetria numa família costuma esconder uma combinação atalho; e assim que a dimensão estiver disponível (Capítulo 19), toda a metade “geradora” deste trabalho virá sem custo algum — três vetores livres de um espaço de dimensão $3$ formam sempre uma base.

Exemplo 18.22 (Uma relação escondida encolhe um espaço gerado)

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$, o que é $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? A identidade $\cos^2 + \sin^2 = 1$ é uma combinação nula não trivial

a família é linearmente dependente, e o espaço gerado já é gerado apenas por $(1, \cos^2)$ ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Essa família menor é livre: $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ dá, em $x = 0$ e $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ e $a = 0$. Logo o espaço gerado é um plano dentro do espaço de funções — e ele contém também $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: famílias de funções trigonométricas com ar de independentes colapsam rotineiramente sob identidades, razão pela qual a liberdade deve ser demonstrada, nunca suposta a partir do tamanho da lista.