ما معنى عائلة حرة؟

مثال 18.16

الأساس القانوني في $K^n$: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($1$ في الخانة $i$). والوحيدات الحدّ $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: أساسٌ للمقدار $K_n[X]$ (والحرية: لأن تركيبة معدومة هي كثير الحدود المعدوم، ومنه تنعدم كل المعاملات، التعريف 8.1). وفي $\C$ على $\R$: الأساس $(1, \iu)$.

مثال 18.18 (اختبار أساس مرشّح من البداية إلى النهاية)

هل $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ أساس للمقدار $\R_2[X]$؟ اكتب $u_1, u_2, u_3$ لكثيرات الحدود الثلاثة. الحرية: تعطي تركيبة معدومة $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$، معاملًا معاملًا،

وبطرح الأولين، $b = c$، ثم يعطي الثالث $2b = 0$: أي $a = b = c = 0$، فهي حرة. والتوليد: بدل حلّ ثلاث جمل، لاحظ التركيبة المتناظرة

ومنه $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$؛ ثم

والوحيدات الحدّ تقع في الفضاء المولَّد، ومنه فكل شيء كذلك: ومنه فالعائلة $\mathcal{F}$ أساس. وكعلاوة، يعطي تجميع المعروضات الثلاث إحداثيات أيّ $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(وللتحقق من السلامة مع $P = X$: الإحداثيات $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$، كما وُجد أعلاه.) ودرسان: عادةً ما يخفي التناظر في العائلة تركيبةً مختصرة؛ وما إن يتوفر البُعد (الفصل 19)، يأتي نصف التوليد كله من هذا العمل بالمجّان — فثلاث متجهات حرة في فضاء بُعده $3$ تكوّن أساسًا دائمًا.

مثال 18.20 (مبدأ السلّم)

لتكن $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ مع $\deg P_k = k$ من أجل كل $k$ (أي «سلّم» درجات). عندئذ تكون $(P_0, \dots, P_n)$ أساسًا للمقدار $K_n[X]$. والحرية هي القضية 18.19 (1). وأمّا خاصية التوليد، فحاجج بنزول منته على الدرجة: لتكن $Q \in K_n[X]$ مع $Q \neq 0$، من الدرجة $d$، ومعاملها المهيمن $a$، وليكن $b \neq 0$ المعامل المهيمن للمقدار $P_d$. عندئذ يكون $Q - \frac ab P_d$ من الدرجة $< d$ (لأن الحدود العليا تتلاشى)؛ وباستبدال هذا الفرق بالمقدار $Q$ والتكرار، يُبلغ بعد $n + 1$ خطوة على الأكثر كثيرُ الحدود المعدوم، ويعبّر فكّ الطروح عن $Q$ تركيبةً من المقادير $P_k$. وقد لُقي سلّمان أصلًا: القوى المنسحبة $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (التمرين 18.4)، وجداءات نيوتن $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$، المشغَّلة في مسألة نهاية الأسبوع.