Apa itu Kombinasi linear, rentang?

Contoh 18.18 (Menguji sebuah calon basis, dari awal sampai akhir)

Apakah $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ merupakan basis $\R_2[X]$? Tulislah $u_1, u_2, u_3$ bagi ketiga polinomialnya. Kebebasannya: sebuah kombinasi nol $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ memberikan, koefisien demi koefisien,

lalu mengurangkan kedua yang pertama memberikan $b = c$, kemudian yang ketiga memberikan $2b = 0$: sehingga $a = b = c = 0$, jadi bebas. Pembangunnya: alih-alih memecahkan tiga sistem, perhatikanlah kombinasi setangkupnya

sehingga $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; lalu

Monomialnya terletak di rentangnya, sehingga segalanya demikian: jadi $\mathcal{F}$ merupakan basis. Sebagai bonusnya, merakit ketiga tampilannya memberikan koordinat sebarang $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(Periksa kewarasannya dengan $P = X$: koordinatnya $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, sebagaimana ditemukan di atas.) Ada dua pelajarannya: bahwa kesetangkupan pada keluarganya biasanya menyembunyikan kombinasi jalan pintas; dan bahwa begitu dimensinya tersedia (Bab 19), seluruh paruh pembangun kerja ini akan datang cuma-cuma — karena tiga vektor bebas pada ruang berdimensi $3$ selalu membentuk basis.

Contoh 18.22 (Sebuah relasi tersembunyi mengecilkan rentang)

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$, apakah $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? Adapun kesamaan $\cos^2 + \sin^2 = 1$ merupakan kombinasi nol yang taksepele

jadi keluarganya terikat, dan rentangnya sudah dibangun oleh $(1, \cos^2)$ saja (karena $\sin^2 = 1 - \cos^2$). Adapun keluarga yang lebih kecil itu bersifat bebas: karena $a + b\cos^2 x = 0$ untuk setiap $x$ memberikan, di $x = 0$ dan $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ dan $a = 0$. Jadi rentangnya sebuah bidang di dalam ruang fungsinya — dan ia juga memuat $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: sehingga keluarga fungsi trigonometri yang tampak linear rutin runtuh di bawah kesamaannya, dan itulah sebabnya kebebasannya harus dibuktikan, tak pernah dianggap dari panjang daftarnya.