Wat is Lineaire combinaties, opspansel?

Voorbeeld 18.18 (Een kandidaat-basis toetsen, van begin tot eind)

Is $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ een basis van $\R_2[X]$? Schrijf $u_1, u_2, u_3$ voor de drie veeltermen. Vrijheid: een nulcombinatie $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ geeft, coëfficiënt na coëfficiënt,

door de eerste twee af te trekken volgt $b = c$, en dan geeft de derde $2b = 0$: $a = b = c = 0$, dus vrij. Voortbrengend: in plaats van drie stelsels op te lossen, merk je de symmetrische combinatie op

dus $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; vervolgens

De monomen liggen in het opspansel, dus alles ligt erin: $\mathcal{F}$ is een basis. Als toegift geeft het samenvoegen van de drie formules de coördinaten van elke $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(Controle met $P = X$: coördinaten $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, zoals hierboven gevonden.) Twee lessen: symmetrie in de familie verbergt gewoonlijk een kortere weg; en zodra de dimensie beschikbaar is (Hoofdstuk 19) komt de hele voortbrengende helft van dit werk gratis — drie vrije vectoren van een $3$-dimensionale ruimte vormen altijd een basis.

Voorbeeld 18.22 (Een verborgen betrekking krimpt een opspansel)

Wat is in $\mathcal{F}(\R, \R)$ het opspansel $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? De identiteit $\cos^2 + \sin^2 = 1$ is een niet-triviale nulcombinatie

de familie is afhankelijk, en het opspansel wordt al voortgebracht door $(1, \cos^2)$ alleen ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Die kleinere familie is vrij: $a + b\cos^2 x = 0$ voor alle $x$ geeft, in $x = 0$ en $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ en $a = 0$. Het opspansel is dus een vlak binnen de functieruimte — en het bevat ook $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: families goniometrische functies die lineair lijken, storten routinematig in onder identiteiten, en daarom moet vrijheid worden bewezen, nooit uit de lengte van de lijst worden aangenomen.