¿Qué es Combinaciones lineales, subespacio generado?

Ejemplo 18.18 (Comprobar una base candidata, de principio a fin)

¿Es $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ una base de $\R_2[X]$? Escríbanse $u_1, u_2, u_3$ para los tres polinomios. Es libre: una combinación nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ da, coeficiente a coeficiente,

restando las dos primeras, $b = c$, y la tercera da $2b = 0$: $a = b = c = 0$, libre. Generadora: en lugar de resolver tres sistemas, obsérvese la combinación simétrica

luego $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; y entonces

Los monomios están en el subespacio generado, luego todo lo está: $\mathcal{F}$ es una base. Como propina, juntando las tres fórmulas se obtienen las coordenadas de cualquier $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(Comprobación con $P = X$: coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, como se halló antes.) Dos lecciones: la simetría de una familia suele esconder una combinación atajo; y en cuanto se disponga de la dimensión (Capítulo 19), toda la mitad generadora de este trabajo saldrá gratis — tres vectores libres de un espacio de dimensión $3$ siempre forman una base.

Ejemplo 18.22 (Una relación oculta encoge un subespacio generado)

En $\mathcal{F}(\R, \R)$, ¿qué es $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? La identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ es una combinación nula no trivial

la familia es ligada, y el subespacio generado ya lo genera $(1, \cos^2)$ por sí sola ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Y esa familia menor es libre: $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ da, en $x = 0$ y $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ y $a = 0$. Así, el subespacio generado es un plano dentro del espacio de funciones — y también contiene a $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: las familias de funciones trigonométricas de aspecto lineal se derrumban rutinariamente bajo las identidades, y por eso la libertad hay que demostrarla, nunca suponerla por la longitud de la lista.