ما معنى العزوم والتباين؟

مثال 22.16 (غير مترابطين لكن ملتصقين)

نرمي نردين متزنين، $X$ و$Y$ مستقلين، ونضع $S = X + Y$، $D = X - Y$. وبثنائية خطية التغاير،

فالمجموع والفرق غير مترابطين. فهل هما مستقلان؟ قطعا لا: إذ يفرض $S = 12$ أن $D = 0$، بينما $\P(D = 0) = \frac16$ دون شرط. فالترابط لا يختبر إلا الجزء الخطي من التعلق؛ وهنا يحمل التعلقَ القيدُ القائل إن $S$ و$D$ لهما الزوجية نفسها، وهو غير مرئي للتغاير. (ومن أجل هذا الزوج، احتاج انعدام التغاير إلى $V(X) = V(Y)$: فالتوزيعان المتطابقان، لا الاستقلال، هما اللذان أنجزا العمل.)

مثال 22.17 (متى تكون متراجحة ماركوف مساواة)

تكون متراجحة ماركوف مساواة بالضبط عندما لا يُهدر شيء في الحصر $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$: أي عندما لا يأخذ المتغير إلا القيمتين $0$ و$a$. وبصورة ملموسة، إذا كان $\P(X = a) = \pi$ و$\P(X = 0) = 1 - \pi$، فإن $\E(X) = a\pi$ و

وقراءة واقعية: ففي مجتمع متوسط الثروة فيه $100$ والثروة إما $0$ وإما $10^6$، تكون نسبة أصحاب الملايين هي $10^{-4}$ بالضبط — أي حصر ماركوف، مبلوغا بالضبط بمتراجحة قصوى. وكلما انتشر $X$ على قيم وسيطة كان الحصر تاما، وغالبا بفارق هائل؛ لكن كما تبين الحالة الحدية، لا يمكن استخراج متراجحة أفضل من المتوسط وحده.

مثال 22.18 (متراجحة تشيبيشيف أمثلية — دون فرضيات إضافية)

نثبّت $\varepsilon > 0$، $q \in \intoc01$، ونجعل $X$ يأخذ القيمتين $\pm\varepsilon$ باحتمال $\frac q2$ لكل منهما و$0$ باحتمال $1 - q$. عندئذ $\E(X) = 0$، $V(X) = q\varepsilon^2$، و

أي التساوي في متراجحة تشيبيشيف. ومنه فلا يمكن تحسين المتراجحة باستعمال التباين وحده — فالتلاشي $1/\varepsilon^2$ هو الثمن المضبوط لمعلومة العزم من الرتبة الثانية. أما التلاشي الأسرع فيتطلب فرضيات أقوى: فحصر المتغير يشتري تركيزا أسيا، كما يستعرض التمرين 22.7 وكما تطوره مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل منهجيا.