¿Qué es Momentos, varianza? — Matemáticas

Definición 22.13 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 22 — Variables aleatorias discretas

$X$ tiene momento de orden 2 si $X^2$ tiene esperanza (entonces $X$ también, por dominación: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). Su varianza y su desviación típica son entonces

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(la segunda forma —la fórmula de König–Huygens— desarrollando el cuadrado y usando la linealidad:

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

donde el término central usa que $\E X$ es una constante). Para $X, Y$ con momentos de orden dos, la covarianza es

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

Ejemplos

Ejemplo 22.16 (Incorreladas pero pegadas la una a la otra)

Lánzense dos dados equilibrados, $X$ e $Y$ independientes, y póngase $S = X + Y$ , $D = X - Y$ . Por la bilinealidad de la covarianza,

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

la suma y la diferencia están incorreladas. ¿Independientes? Desde luego que no: $S = 12$ fuerza $D = 0$ , mientras que $\P(D = 0) = \frac16$ incondicionalmente. La correlación solo pone a prueba la parte lineal de una dependencia; aquí, la dependencia la lleva la restricción de que $S$ y $D$ tengan la misma paridad, invisible para la covarianza. (Para este par, la covarianza nula necesitaba $V(X) = V(Y)$ : fueron las distribuciones idénticas, y no la independencia, las que hicieron el trabajo.)

Ejemplo 22.17 (Cuándo es exacta la de Markov)

La desigualdad de Markov es una igualdad precisamente cuando no se desperdicia nada en la cota $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : la variable ha de tomar solo los valores $0$ y $a$ . En concreto, si $\P(X = a) = \pi$ y $\P(X = 0) = 1 - \pi$ , entonces $\E(X) = a\pi$ y

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

Una lectura realista: en una población cuya riqueza media es $100$ y donde la riqueza es $0$ o $10^6$ , la proporción de millonarios es exactamente $10^{-4}$ ; la cota de Markov, alcanzada exactamente por una desigualdad maximal. Siempre que $X$ se reparta por valores intermedios, la cota es estricta, a menudo desaforadamente; pero, como muestra el caso extremo, de la sola media no puede extraerse ninguna desigualdad mejor.

Ejemplo 22.18 (Chebyshev es óptima, sin hipótesis adicionales)

Fíjense $\varepsilon > 0$ y $q \in \intoc01$ , y sea $X$ la variable que toma los valores $\pm\varepsilon$ con probabilidad $\frac q2$ cada uno y $0$ con probabilidad $1 - q$ . Entonces $\E(X) = 0$ , $V(X) = q\varepsilon^2$ , y

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

igualdad en Chebyshev. Así pues, la desigualdad no puede mejorarse usando solo la varianza; el decaimiento $1/\varepsilon^2$ es el precio exacto de la información de segundo momento. Un decaimiento más rápido exige hipótesis más fuertes: la acotación de la variable compra concentración exponencial, como anticipa el Ejercicio 22.7 y desarrolla sistemáticamente el problema de fin de semana de este capítulo.

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Ejemplos

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