आघूर्ण, प्रसरण क्या है?

उदाहरण 22.16 (असहसंबद्ध, पर आपस में चिपके हुए)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए, $X$ तथा $Y$ स्वतंत्र, और $S = X + Y$, $D = X - Y$ रखिए। सहप्रसरण की द्विरैखिकता से

अर्थात् योग तथा अंतर असहसंबद्ध हैं। स्वतंत्र? निश्चित रूप से नहीं: $S = 12$ $D = 0$ को बाध्य कर देता है, जबकि बिना प्रतिबंधन के $\P(D = 0) = \frac16$। सहसंबंध किसी परतंत्रता के केवल रैखिक भाग की जाँच करता है; यहाँ परतंत्रता इस प्रतिबंध से ढोई जाती है कि $S$ तथा $D$ की सम-विषमता एक ही हो, जो सहप्रसरण को अदृश्य है। (इस युग्म के लिए शून्य सहप्रसरण को $V(X) = V(Y)$ चाहिए था: काम स्वतंत्रता ने नहीं, समान बंटनों ने किया।)

उदाहरण 22.17 (मार्कोव कब यथातथ होती है)

मार्कोव असमिका ठीक तब समता होती है जब परिबंध $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ में कुछ भी बर्बाद न हो: चर को केवल मान $0$ तथा $a$ ही लेने चाहिए। मूर्त रूप में, यदि $\P(X = a) = \pi$ तथा $\P(X = 0) = 1 - \pi$, तो $\E(X) = a\pi$ और

यथार्थ पाठ: जिस जनसंख्या में औसत संपत्ति $100$ हो और संपत्ति या तो $0$ हो या $10^6$, वहाँ करोड़पतियों का अनुपात ठीक $10^{-4}$ है — मार्कोव का परिबंध, अधिकतम असमानता से ठीक-ठीक छुआ हुआ। जब भी $X$ मध्यवर्ती मानों पर फैलता है, परिबंध कठोर होता है, प्रायः बहुत ही अधिक; पर जैसा यह चरम स्थिति दिखाती है, अकेले माध्य से इससे बेहतर कोई असमिका नहीं निकाली जा सकती।

उदाहरण 22.18 (चेबिशेव तीखी है — और कोई अतिरिक्त परिकल्पना नहीं)

$\varepsilon > 0$, $q \in \intoc01$ स्थिर कीजिए, और मान लीजिए $X$ मान $\pm\varepsilon$ हर एक प्रायिकता $\frac q2$ के साथ लेता है तथा $0$ प्रायिकता $1 - q$ के साथ। तब $\E(X) = 0$, $V(X) = q\varepsilon^2$, और

अर्थात् चेबिशेव में समता। अतः केवल प्रसरण के उपयोग से असमिका सुधारी नहीं जा सकती — $1/\varepsilon^2$ क्षय द्वितीय-आघूर्ण सूचना का ठीक-ठीक मूल्य है। तेज़ क्षय के लिए प्रबल परिकल्पनाएँ चाहिए: चर का परिबद्ध होना चरघातांकी संकेंद्रण ख़रीद लेता है, जैसा अभ्यास 22.7 झलक दिखाता है और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या क्रमबद्ध रूप से विकसित करती है।