O que é Momentos, variância? — Matemática

Definição 22.13 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 22 — Variáveis aleatórias discretas

$X$ tem momento de ordem 2 se $X^2$ tiver esperança (e então $X$ também tem, por dominação: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). Sua variância e seu desvio padrão são então

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(a segunda forma — a fórmula de König–Huygens — vem de desenvolver o quadrado e usar a linearidade:

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

o termo do meio usando que $\E X$ é uma constante). Para $X, Y$ com momentos de segunda ordem, a covariância é

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

Exemplos

Exemplo 22.16 (Não correlacionadas mas grudadas uma na outra)

Lance dois dados honestos, $X$ e $Y$ independentes, e ponha $S = X + Y$ , $D = X - Y$ . Pela bilinearidade da covariância,

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

soma e diferença são não correlacionadas. Independentes? Certamente não: $S = 12$ força $D = 0$ , enquanto $\P(D = 0) = \frac16$ incondicionalmente. A correlação só testa a parte linear de uma dependência; aqui a dependência é carregada pela restrição de que $S$ e $D$ tenham a mesma paridade, invisível à covariância. (Para esse par, a covariância nula precisou de $V(X) = V(Y)$ : distribuições idênticas, e não independência, é que fizeram o trabalho.)

Exemplo 22.17 (Quando Markov é exata)

A desigualdade de Markov é uma igualdade precisamente quando nada se desperdiça na majoração $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : a variável deve assumir apenas os valores $0$ e $a$ . Concretamente, se $\P(X = a) = \pi$ e $\P(X = 0) = 1 - \pi$ , então $\E(X) = a\pi$ e

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

Uma leitura realista: numa população em que a riqueza média é $100$ e a riqueza é $0$ ou $10^6$ , a proporção de milionários é exatamente $10^{-4}$ — a cota de Markov, atingida exatamente por desigualdade maximal. Sempre que $X$ se espalha por valores intermediários a cota é estrita, muitas vezes escandalosamente; mas, como mostra o caso extremo, nenhuma desigualdade melhor pode ser extraída apenas da média.

Exemplo 22.18 (Chebyshev é ótima — sem hipóteses adicionais)

Fixe $\varepsilon > 0$ , $q \in \intoc01$ , e deixe $X$ assumir os valores $\pm\varepsilon$ com probabilidade $\frac q2$ cada e $0$ com probabilidade $1 - q$ . Então $\E(X) = 0$ , $V(X) = q\varepsilon^2$ , e

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

igualdade em Chebyshev. Assim, a desigualdade não pode ser melhorada usando apenas a variância — o decaimento em $1/\varepsilon^2$ é o preço exato da informação de segundo momento. Um decaimento mais rápido exige hipóteses mais fortes: a limitação da variável compra concentração exponencial, como o Exercício 22.7 antecipa e o problema de fim de semana deste capítulo desenvolve sistematicamente.

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