Wat is Momenten, variantie? — Wiskunde

Definitie 22.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 22 — Discrete toevalsveranderlijken

$X$ heeft een moment van orde 2 wanneer $X^2$ een verwachtingswaarde heeft (dan ook $X$ , wegens de dominatie: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). Haar variantie en standaardafwijking zijn dan

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(de tweede vorm — de formule van König–Huygens — door het kwadraat uit te werken en de lineariteit te gebruiken:

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

waarbij de middelste term gebruikt dat $\E X$ een constante is). Voor $X, Y$ met tweede momenten is de covariantie

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

Voorbeelden

Voorbeeld 22.16 (Ongecorreleerd maar aan elkaar vastgelijmd)

Gooi met twee eerlijke dobbelstenen, $X$ en $Y$ onafhankelijk, en zet $S = X + Y$ , $D = X - Y$ . Wegens de bilineariteit van de covariantie is

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

som en verschil zijn ongecorreleerd. Onafhankelijk? Zeker niet: $S = 12$ dwingt $D = 0$ af, terwijl $\P(D = 0) = \frac16$ is zonder voorwaarde. De correlatie toetst alleen het lineaire deel van een afhankelijkheid; hier wordt de afhankelijkheid gedragen door de voorwaarde dat $S$ en $D$ dezelfde pariteit hebben, onzichtbaar voor de covariantie. (Voor dit paar had de nulcovariantie $V(X) = V(Y)$ nodig: gelijke verdelingen, niet de onafhankelijkheid, deden het werk.)

Voorbeeld 22.17 (Wanneer Markov exact is)

De ongelijkheid van Markov is een gelijkheid precies wanneer er niets verloren gaat in de grens $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : de veranderlijke moet alleen de waarden $0$ en $a$ aannemen. Concreet, is $\P(X = a) = \pi$ en $\P(X = 0) = 1 - \pi$ , dan is $\E(X) = a\pi$ en

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

Een realistische lezing: in een bevolking waar het gemiddelde vermogen $100$ is en het vermogen ofwel $0$ ofwel $10^6$ bedraagt, is het aandeel miljonairs precies $10^{-4}$ — de grens van Markov, exact bereikt door een maximale ongelijkheid. Zodra $X$ zich over tussenliggende waarden uitspreidt, is de grens strikt, vaak wild; maar zoals het extreme geval toont, kan uit het gemiddelde alleen geen betere ongelijkheid worden gehaald.

Voorbeeld 22.18 (Chebyshev is scherp — zonder verdere hypothesen)

Houd $\varepsilon > 0$ en $q \in \intoc01$ vast, en laat $X$ de waarden $\pm\varepsilon$ elk met kans $\frac q2$ aannemen en $0$ met kans $1 - q$ . Dan is $\E(X) = 0$ , $V(X) = q\varepsilon^2$ en

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

gelijkheid in Chebyshev. De ongelijkheid kan dus niet worden verbeterd met alleen de variantie — het verval $1/\varepsilon^2$ is de exacte prijs van informatie over het tweede moment. Sneller verval vereist sterkere hypothesen: begrensdheid van de veranderlijke koopt exponentiële concentratie, zoals Oefening 22.7 voorproeft en de weekendopgave van dit hoofdstuk stelselmatig ontwikkelt.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen