Qu'est-ce que « Moments, variance » ? — Mathématiques

Définition 22.13 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 22 — Variables aléatoires discrètes

$X$ admet un moment d’ordre 2 si $X^2$ admet une espérance (alors $X$ aussi, par domination : $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). Sa variance et son écart-type sont alors

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(la seconde forme — la formule de König–Huygens — en développant le carré et en utilisant la linéarité :

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

le terme central utilisant que $\E X$ est une constante). Pour $X, Y$ admettant des moments d’ordre deux, la covariance est

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

Exemples

Exemple 22.16 (Non corrélées mais soudées ensemble)

On lance deux dés équilibrés, $X$ et $Y$ indépendants, et on pose $S = X + Y$ , $D = X - Y$ . Par bilinéarité de la covariance,

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

somme et différence sont non corrélées. Indépendantes ? Certainement pas : $S = 12$ force $D = 0$ , tandis que $\P(D = 0) = \frac16$ sans conditionnement. La corrélation ne teste que la partie linéaire d’une dépendance ; ici la dépendance est portée par la contrainte que $S$ et $D$ ont la même parité, invisible à la covariance. (Pour ce couple, une covariance nulle a nécessité $V(X) = V(Y)$ : des lois identiques, non l’indépendance, ont fait le travail.)

Exemple 22.17 (Quand Markov est exacte)

L’inégalité de Markov est une égalité précisément lorsque rien n’est gaspillé dans la borne $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : la variable doit ne prendre que les valeurs $0$ et $a$ . Concrètement, si $\P(X = a) = \pi$ et $\P(X = 0) = 1 - \pi$ , alors $\E(X) = a\pi$ et

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

Une lecture réaliste : dans une population où la richesse moyenne est $100$ et la richesse vaut soit $0$ soit $10^6$ , la proportion de millionnaires est exactement $10^{-4}$ — la borne de Markov, atteinte exactement par une inégalité maximale. Chaque fois que $X$ s’étale sur des valeurs intermédiaires, la borne est stricte, souvent démesurément ; mais comme le montre le cas extrême, aucune meilleure inégalité ne peut être extraite de la seule moyenne.

Exemple 22.18 (Tchebychev est optimale — sans hypothèses supplémentaires)

Fixons $\varepsilon > 0$ , $q \in \intoc01$ , et soit $X$ prenant les valeurs $\pm\varepsilon$ avec probabilité $\frac q2$ chacune et $0$ avec probabilité $1 - q$ . Alors $\E(X) = 0$ , $V(X) = q\varepsilon^2$ , et

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

égalité dans Tchebychev. Ainsi l’inégalité ne peut être améliorée en utilisant seulement la variance — la décroissance en $1/\varepsilon^2$ est le prix exact de l’information d’ordre deux. Une décroissance plus rapide requiert des hypothèses plus fortes : le caractère borné de la variable achète une concentration exponentielle, comme l’Exercice 22.7 le laisse entrevoir et comme le problème du week-end de ce chapitre le développe systématiquement.

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Exemples

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