Apa itu Momen, ragam? — Matematika

Definisi 22.13 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 22 — Peubah Acak Diskret

Peubah $X$ disebut punya momen orde 2 bila $X^2$ punya nilai harapan (dan lalu $X$ juga, berkat dominasi: sebab $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). Adapun ragam dan simpangan baku peubahnya lalu

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(yakni bentuk keduanya — rumus König–Huygens — lewat menguraikan kuadratnya lalu memakai kelinearannya:

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

dengan suku tengahnya memakai bahwa $\E X$ sebuah konstanta). Adapun untuk $X, Y$ yang bermomen kedua, kovariansi keduanya adalah

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

Contoh

Contoh 22.16 (Tak berkorelasi tetapi terlem bersama)

Lemparkan dua dadu setimbang, dengan $X$ dan $Y$ saling bebas, lalu tetapkan $S = X + Y$ dan $D = X - Y$ . Menurut kebilinearan kovariansinya,

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

jadi jumlah dan selisihnya tak berkorelasi. Saling bebas? Tentu tidak: sebab $S = 12$ memaksa $D = 0$ , sedangkan $\P(D = 0) = \frac16$ tanpa syarat. Jadi korelasi hanya menguji bagian linear sebuah kebergantungan; sebab di sini kebergantungannya diusung kendala bahwa $S$ dan $D$ berparitas sama, yang tak terlihat oleh kovariansinya. (Adapun bagi pasangan ini, kovariansi nolnya menuntut $V(X) = V(Y)$ : jadi distribusi yang identik, bukan kebebasan, yang mengerjakannya.)

Contoh 22.17 (Ketika Markov eksak)

Ketaksamaan Markov menjadi kesamaan persis ketika tak ada yang terbuang pada batas $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : yakni peubahnya hanya boleh mengambil nilai $0$ dan $a$ . Secara konkret, bila $\P(X = a) = \pi$ dan $\P(X = 0) = 1 - \pi$ , maka $\E(X) = a\pi$ dan

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

Adapun pembacaan realistisnya: pada sebuah populasi yang kekayaan rata-ratanya $100$ dan kekayaannya entah $0$ entah $10^6$ , proporsi jutawannya persis $10^{-4}$ — yakni batas Markov, yang tercapai persis lewat ketaksamaan maksimalnya. Jadi setiap kali $X$ menyebar atas nilai antaranya batasnya menjadi tegas, kerap secara liar; tetapi seperti ditunjukkan kasus ekstremnya, tak ada ketaksamaan yang lebih baik yang dapat disarikan dari rerataannya sendirian.

Contoh 22.18 (Chebyshev bersifat tajam — tanpa hipotesis lebih lanjut)

Tetapkan $\varepsilon > 0$ dan $q \in \intoc01$ , lalu biarkanlah $X$ mengambil nilai $\pm\varepsilon$ masing-masing berpeluang $\frac q2$ dan $0$ berpeluang $1 - q$ . Maka $\E(X) = 0$ , $V(X) = q\varepsilon^2$ , dan

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

yakni kesamaan pada Chebyshev. Jadi ketaksamaannya tak dapat diperbaiki dengan memakai ragamnya saja — sebab peluruhan $1/\varepsilon^2$ -nya adalah harga persis informasi momen keduanya. Adapun peluruhan yang lebih cepat menuntut hipotesis yang lebih kuat: sebab keterbatasan peubahnya membeli pemusatan eksponensial, sebagaimana dipratinjau Latihan 22.7 dan dikembangkan secara sistematis oleh soal akhir pekan bab ini.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait