ما معنى تقارب نقطي؟

مثال 10.2

على $\intcc{0}{1}$، تتقارب $f_n(x) = x^n$ نقطيًا إلى النهاية غير المتصلة $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$؛ والتقارب ليس منتظمًا: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$. وعلى $\intcc{0}{a}$ مع $a < 1$ يكون منتظمًا ($\sup = a^n \to 0$): فالانتظام خاصية لمجال التعريف بقدر ما هو خاصية للمتتالية.

مثال 10.3 (نهايتان ترفضان التبادل)

الفصل كله عن تبادل النهايات، وهذا أصغر فشل ممكن. لتكن $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ من أجل $n, m \geq 1$. عندئذٍ

فالنهايتان المتكررتان موجودتان وهما مختلفتان. وكل مبرهنة نقل في هذا الفصل رخصةٌ لتبادل نهايتين — $\lim_n$ مع $\lim_{x\to a}$ (الاتصال)، ومع $\int$ (المكاملة)، ومع $\frac{\dd}{\dd x}$ (الاشتقاق) — والتقارب المنتظم هو بالضبط الرسم الذي يجعل التبادل مشروعًا. والفكرة الختامية: كلما بدّل “برهان” عمليتَي نهاية صامتًا، فهذا الجدول ذو السطرين هو المثال المضاد الذي يُرفع في وجهه؛ والنتوءات المنزلقة في التمرين 10.2 هي الظاهرة نفسها بلباس علامة تكامل.

مثال 10.5 (يفشل الانتظام بالضبط حيث تنكسر النهاية)

على $\intcc{0}{2}$، لتكن $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$. النهاية النقطية دالة من ثلاث قطع:

وهي غير متصلة عند $1$، ومن ثم لا يمكن أن يكون التقارب منتظمًا على $\intcc{0}{2}$ حسب المبرهنة 10.4. لكنه منتظم على القطع المغلقة التي تتجنب العتبة: فمن أجل $0 \leq x \leq a < 1$،

ومن أجل $1 < b \leq x \leq 2$،

وقد حُسبت النهايتان العلييان برتابة $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ ورتابة $x \mapsto x^n$. والفكرة الختامية: يتوطّن فشل الانتظام عند نقطة عدم اتصال النهاية — بالهندسة نفسها التي في المثال 10.2، وهو سبب تكرار انضباط “الانتظام على كل قطعة في الداخل” طوال الفصل.