Apa itu kekonvergenan titik demi titik? — Matematika

Definisi 10.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 10 — Barisan dan Deret Fungsi

Misalkan $f_n, f \colon X \to \R$ (atau $\C$ , atau sebuah ruang bernorma), dengan $X$ himpunan apa pun. Barisan $(f_n)$ konvergen ke $f$ titik demi titik apabila $f_n(x) \to f(x)$ untuk setiap $x$ ; dan konvergen seragam apabila

\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .

Seragam mengakibatkan titik demi titik; sedangkan pada $C(\intcc{a}{b})$ , kekonvergenan seragam persis sama dengan kekonvergenan di ruang Banach $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ pada Bab 5.

Barisan xn pada [0, 1]: grafiknya melorot ke 0 tetapi semuanya wajib memanjat ke 1 di x = 1 — jadi jarak supremumnya ke limit titik demi titik yang tak kontinu itu tak pernah menyusut di bawah sebuah konstanta. — Barisan $x^n$ pada $\intcc{0}{1}$ : grafiknya melorot ke $0$ tetapi semuanya wajib memanjat ke $1$ di $x = 1$ — jadi jarak supremumnya ke limit titik demi titik yang tak kontinu itu tak pernah menyusut di bawah sebuah konstanta.

Contoh

Contoh 10.2

Pada $\intcc{0}{1}$ , $f_n(x) = x^n$ konvergen titik demi titik ke limit yang tak kontinu $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ ; kekonvergenannya tidak seragam: sebab $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$ . Namun pada $\intcc{0}{a}$ dengan $a < 1$ ia memang seragam (sebab $\sup = a^n \to 0$ ): jadi keseragaman adalah sifat daerahnya, sama seperti sifat barisannya.

Contoh 10.3 (Dua limit yang menolak bertukar)

Seluruh bab ini tentang menukar limit, jadi inilah kegagalan sekecil mungkin. Misalkan $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ untuk $n, m \geq 1$ . Maka

\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{m\to\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :

kedua limit beriterasinya ada dan keduanya berbeda. Setiap teorema pemindahan pada bab ini adalah izin untuk menukar dua limit — $\lim_n$ dengan $\lim_{x\to a}$ (kekontinuan), dengan $\int$ (pengintegralan), dengan $\frac{\dd}{\dd x}$ (penurunan) — dan kekonvergenan seragam persis menjadi bayaran yang membuat penukaran itu sah. Pelajaran penutupnya: setiap kali sebuah “bukti” diam-diam menukar dua operasi limit, maka larik dua baris inilah contoh penyangkal yang perlu diacungkan; sedangkan bonggol meluncur pada Latihan 10.2 adalah gejala yang sama dengan busana tanda integral.

Contoh 10.5 (Keseragaman gagal persis di tempat limitnya patah)

Pada $\intcc{0}{2}$ , misalkan $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ . Limit titik demi titiknya adalah fungsi tiga potong:

f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt] \tfrac12 & x = 1,\\[2pt] 1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}

yang tak kontinu di $1$ , jadi menurut Teorema 10.4 kekonvergenannya tak mungkin seragam pada $\intcc{0}{2}$ . Namun pada potongan tertutup yang menghindari ambangnya ia seragam: untuk $0 \leq x \leq a < 1$ ,

\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0} = \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,

sedangkan untuk $1 < b \leq x \leq 2$ ,

\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1} = \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,

dengan kedua supremumnya terhitung lewat kemonotonan $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ dan $x \mapsto x^n$ . Pelajaran penutupnya: kegagalan keseragamannya terpusat di ketakkontinuan limitnya — yakni geometri yang sama seperti Contoh 10.2, sekaligus alasan mengapa disiplin “seragam pada tiap ruas di dalamnya” berulang sepanjang bab ini.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait